Enunciado

Mostre que a interseção dos planos π 1 : x - y = 0 , π 2 : x + z = 0 e π 3 : x - y + 3 z + 3 = 0 contém um único ponto A e determine suas coordenadas. Calcule o volume do paralelepípedo (SO) que tem faces contidas em π 1 , π 2 e π 3 e diagonal A H , sendo H = 2,1 , 3 .

Passo 1

Antes de começarmos a discutir sobre como calcular o volume do paralelepípedo, vamos descobrir as coordenadas do ponto A , dada pela interseção dos três planos.

Então, vamos começar determinando a reta r dada pela interseção do plano π 1 e π 2 . Logo,

r : x - y = 0 x + z = 0 ⟹ r : y = x z = - x

Portanto, um ponto X = x , y , z pertence a reta r se, e somente se:

r : X = x , y , z

r : X = x , x , - x

r : X = x 1,1 , - 1

r : X = λ 1,1 , - 1

Massa! Chegamos a reta r ! Agora, vamos fazer a sua interseção com o plano π 3 . Então, substituindo as coordenadas do ponto X na equação do plano π 3 , temos:

λ - λ + 3 - λ + 3 = 0

λ = 1

Por fim, o ponto A dado pela interseção dos três planos é A = 1,1 , - 1 .

Passo 2

Agora, podemos ir para a parte do volume, o que é bastente interessante e é a grande dificuldade da questão.

Se tentarmos descobrir os vértices para assim calcular o volume do paralelepípedo, teremos um grandeeee trabalho! Bota grande nisto. Então, precisamos de uma abordagem diferente.

Primeiro, observem que os três planos são transversais dois a dois (os vetores normais não são paralelos). Então, se a gente faz um desenho abstrato do nosso paralelepípedo, nos temos as seguintes figuras:

As posições dos planos foram escolhidas arbitrariamente, mas o que importa é a ideia por trás.

Sabendo que n → 1 , n → 2 e n → 3 são os vetores normais aos planos π 1 , π 2 e π 3 , então, o vetor A B → é paralelo ao vetor n → 2 ∧ n → 3 . O mesmo acontecerá com o vetor A D → e A F → , que serão paralelos aos vetores n → 1 ∧ n → 3 e n → 1 ∧ n → 2 , respectivamente.

Calculando cada um destes produtos vetoriais, temos:

n → 1 ∧ n → 2 = i j k 1 - 1 0 1 0 1 = - 1 , - 1,1

n → 1 ∧ n → 3 = i j k 1 - 1 0 1 - 1 3 = - 3 , - 3,0

n → 2 ∧ n → 3 = i j k 1 0 1 1 - 1 3 = 1 , - 2 , - 1

Mas, o que significa matematicamente a relação de paralelismo de vetores? Nada mais é do que:

A B → = λ n → 2 ∧ n → 3 = λ - 1 , - 1,1

A D → = μ n → 1 ∧ n → 3 = μ - 3 , - 3,0

A F → = γ n → 1 ∧ n → 2 = γ 1 , - 2 , - 1

Passo 3

Caramba, a gente conseguiu escrever cada um dos vetores em função dos vetores normais dos planos! Massa!!!

Mas sim, pra que diabos a gente fez isso?

Lembram qual foi a ferramenta que aprendemos a calcular volumes de paralelepípedos? Sim, foi o produto misto! Então, o volume deste sólido será:

V o l u m e = A B → , A D → , A F →

Só que a gente não pode calcular ele ainda, já que não sabemos direito quem são os vetores... Precisamos descobrir ainda os valores de λ , μ e γ .

E como faremos isto? Simples. Nós não temos as coordenadas dos pontos A e H ? Então,

A H → = H - A = 2,1 , 3 - 1,1 , - 1 = 1,0 , 4

Mas também poderíamos calcular este vetor de uma forma diferente, utilizando os vetores A B → , A D → e A F → . Basta perceber que:

A H → = A B → + A D → + A F →

E essa é a sacada para descobrir os valores de λ , μ e γ .

Passo 4

Agora, vamos desenvolver a relação escrita no final do Passo 3 e descobrir os valores de λ , μ e γ . Então, vamos as contas!

1,0 , 4 = λ - 1 , - 1,1 + μ - 3 , - 3,0 + γ 1 , - 2 , - 1

1,0 , 4 = - λ , - λ , λ + - 3 μ , - 3 μ , 0 + γ , - 2 γ , - γ

1,0 , 4 = - λ - 3 μ + γ , - λ - 3 μ - 2 γ , λ - γ

Analisando coordenada a coordenada, temos o seguinte sistema:

- λ - 3 μ + γ = 1 - λ - 3 μ - 2 γ = 0 λ - γ = 4

Resolvendo-o, temos:

- λ - 3 μ + γ = 1 - λ - 3 μ - 2 γ = 0 λ = 4 + γ ⟹ - 3 μ = 5 - 3 μ - 3 γ = 4 λ = 4 + γ ⟹ μ = - 5 3 5 - 3 γ = 4 λ = 4 + γ ⟹ μ = - 5 3 γ = 1 3 λ = 13 3

Portanto, temos λ = 13 / 3 , μ = - 5 / 3 e γ = 1 / 3 . Desta forma, os vetores A B → , A D → e A F → são:

A B → = - 1 3 3 , - 13 3 , 13 3

A D → = 5 , 5 , 0

A F → = 1 3 , - 2 3 , - 1 3

Passo 5

Estamos quase acabando! Para finalizarmos a questão mesmo, basta calcular o produto misto descrito no Passo 3. Então, vamos as contas!

V o l u m e = A B → , A D → , A F →

V o l u m e = - 13 3 - 13 3 13 3 5 5 0 1 3 - 2 3 - 1 3

V o l u m e = 65 9 + 0 - 130 9 - 65 9 + 0 + 65 9

V o l u m e = - 195 9 = 195 9 = 65 3

E assim finalizamos a questão!

Resposta

V o l u m e = 65 3

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O triângulo retângulo A B C tem um vértice na reta r : X = 1 ,2 ,3 + λ ( 1 ,1 ,- 1 ) . Sendo A = ( 0 ,1 ,8 ) e B = ( - 3 ,0 ,9 ) , determine C .
Sejam A = 1,2 , 7 e B = ( 1,1 , 4 ) . Nos casos do exercício anterior, obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos paralelos a A B com uma extremidade em r e outra em s . Desc
Sejam A = 1,2 , 7 e B = ( 1,1 , 4 ) . Nos casos do exercício anterior, obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos paralelos a A B com uma extremidade em r e outra em s . Desc
Sejam A = 1,2 , 7 e B = ( 1,1 , 4 ) . Nos casos do exercício anterior, obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos paralelos a A B com uma extremidade em r e outra em s . Desc
Repita o exercício resolvido anterior com os mesmos sistemas de coordenadas, substituindo a equação vetorial por:(b) X = 1,0 , 0 + λ - 1,1 , 0 + μ ( - 1,0 , 1 )