Enunciado

Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole:

  1. Os vértices são 2,0 e - 2,0 e os focos, 3,0 e - 3,0 .
  2. Os vértices são - 15,0 e 15,0 e as assíntotas tem equações 5 y - 4 x = 0 e 5 y + 4 x = 0 .
  3. Os focos são - 5,0 e 5,0 e a amplitude focal 9 / 2 .
  4. Os focos são - 5,0 e 5,0 e as assíntotas tem equações 2 y = x e 2 y = - x .
  5. O ponto 5,9 pertence à hipérbole, e as assíntotas tem equações y = x e y = - x .
  6. Os focos estão no eixo O y , as assíntotas tem equações 2 y + 3 x = 0 e 2 y - 3 x = 0 , e o eixo conjugado mede 8.

Passo 1

A equação reduzida de uma hipérbole centrada na origem é da forma:

x 2 p + y 2 q = 1

O centro da hipérbole é no ponto médio entre os dois focos. Portanto,

C = - 5,0 + 5,0 2 = 0,0

Portanto, a hipérbole realmente está centrada na origem! Além disto, como os focos estão no eixo O x , sabemos então que p = a 2 > 0 e q = - b 2 < 0 . Logo,

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Passo 2

Vamos descobrir agora quem são esses a e b .

Os focos da hipérbole no eixo O x e centrada na origem são dados por ± c , 0 . Relacionando com o valor dado na questão, temos c = 5 .

Mas como calculamos o valor de c para a hipérbole? Ele é dado pela seguinte expressão:

c 2 = a 2 + b 2

Portanto,

25 = a 2 + b 2

b 2 = 25 - a 2

Vamos guardar esta relação.

Agora, vamos para a amplitude focal. Sabemos que a amplitude focal de uma hipérbole é dada por: 2 b 2 / a . Portanto,

2 b 2 a = 9 2

4 b 2 = 9 a

Mas anteriormente nós vimos uma relação para b 2 . Substituindo acima, temos:

4 25 - a 2 = 9 a

100 - 4 a 2 - 9 a = 0

Resolvendo esta equação do segundo grau, temos a = - 25 / 4 ou a = 4 . Como o parâmetro geométrico é positivo por definição, temos a = 4 . Consequentemente, o valor de b será:

b 2 = 9 a 4 = 9 ⋅ 4 4 = 9

b = 3

Portanto, a hipérbole é:

x 2 16 - y 2 9 = 1

Resposta

x 2 16 - y 2 9 = 1

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Determine as cônicas representadas pelas equações abaixo, encontrando também seus focos, diretrizes e excentricidade. 25 x 2 + 9 y 2 - 72 y - 81 = 0
Determine as cônicas representadas pelas equações abaixo, encontrando também seus focos, diretrizes e excentricidade. 9 x 2 - 18 y 2 + 54 x - 36 = 0
Esboce o gráfico das cônicas a seguir, determinando seus focos, diretrizes e excentricidade. x 2 25 + y 2 9 = 1
Esboce o gráfico das cônicas a seguir, determinando seus focos, diretrizes e excentricidade. x 2 - y 2 = 4
Mostre que qualquer que seja o ponto P x ,y sobre a elipse dada no exercício 1 c , a soma das distancias deste ponto aos dois focos é igual a 10 .