Enunciado

Obtenha equações planares para as retas

a) r : X = (1 , 9 , 4) + lambda ( - 1 , 1 , - 1 )

b) r : X = (- 7 , 1 , 10) + lambda ( - 1 , 0 , 1 )

c) r : X = (1 , 0 , - 2) + lambda ( - 2 , 1 , - 3 )

Passo 1

a) Escrevendo equações paramétricas para r :

r : {[[x = 1 - lambda],[y = 9 + lambda],[z = 4 - lambda]])

Temos que sumir com o parâmetro lambda para chegarmos em equações planares, certo? Da terceira equação, temos que lambda = 4 - z , vamos substituir nas outras equações:

r : {[[x = 1 - ( 4 - z )],[y = 9 + ( 4 - z )]])

r : {[[x = 1 - 4 + z],[y = 9 + 4 - z]])

Então, as equações planares de r são:

r : {[[x - z = - 3],[y + z = 13]])

Na figura abaixo, temos os planos x - z = - 3 e y + z = 13 e a intersecção deles, a reta preta, é a reta r .

Passo 2

b) Escrevendo equações paramétricas para r :

r : {[[x = - 7 - lambda],[y = 1],[z = 10 + lambda]])

Temos que sumir com o parâmetro lambda para chegarmos em equações planares, certo? Da terceira equação, temos que lambda = z - 10 , vamos substituir nas outras equações:

r : {[[x = - 7 - ( z - 10 )],[y = 1]])

r : {[[x = - 7 - z + 10],[y = 1]])

Então, as equações planares de r são:

r : {[[x + z = 3],[y = 1]])

Passo 3

c) Escrevendo equações paramétricas para r :

r : {[[x = 1 - 2 lambda],[y = lambda],[z = - 2 - 3 lambda]])

Temos que sumir com o parâmetro lambda para chegarmos em equações planares, certo? Da segunda equação, temos que lambda = y , vamos substituir nas outras equações:

r : {[[x = 1 - 2 y],[z = - 2 - 3 y]])

Então, as equações planares de r são:

r : {[[x + 2 y = 1],[3 y + z = - 2]])

Resposta

a) r : {[[x - z = - 3],[y + z = 13]])

b) r : {[[x + z = 3],[y = 1]])

c) r : {[[x + 2 y = 1],[3 y + z = - 2]])

Atenção, existem várias formas de resolver esse exercício, portanto, dependendo da forma como você resolveu, a sua resposta pode estar diferente das mostradas acima e ainda assim estar correta beleza??

Para conferir a resposta, você pode fazer o seguinte, escolher dois pontos quaisquer das suas retas e substituir nos dois planos, se as equações forem satisfeitas, ta certinho hahaha

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Obtenha uma equação vetorial da reta que contém o ponto P e é perpendicular ao plano π .(d) P = 0 ,0 ,0 ,π : X = 1 ,0 ,0 + λ - 1 ,1 ,1 + μ ( - 1 ,1 ,0 ) .
Obtenha uma equação vetorial da reta que contém o ponto P e é perpendicular ao plano π .(b) P = 1 ,- 1 ,0 ,π : X = 1 ,- 1 ,1 + λ 1 ,0 ,1 + μ ( 1 ,1 ,1 ) .
Obtenha o simétrico do Ponto P em relação ao plano π , nos casos:b) P 1 ,1 ,1 ; π :4 y - 2 z + 3 = 0
Obtenha o simétrico do Ponto P em relação ao plano π , nos casos: P 1 ,4 ,2 ; π :x - y + z - 2 = 0
Sejam r : X1 ,0 ,0 + λ 1 ,1 ,0 e s : X = 0 ,0,1 + λ 0 ,1 ,1 Mostre que essas retas são concorrentes.Obtenha equações na forma simétrica da reta perpendicular comum a r e s.