Enunciado

Obtenha o simétrico do Ponto P em relação ao plano π , nos casos:

  1. P 1 ,   4 ,   2 ;     π :   x - y + z - 2 = 0

Passo 1

Boom galerinhaa, vamos seguindo, ok?

De acordo com a equação do plano nós obtemos diretamente o seu vetor normal:

N → = ( 1 ,   - 1 ,   1 )

Com o vetor normal nós podemos definir a reta r perpendicular ao plano que passa pelo ponto P, não é?

r :     X = 1 ,   4,2 + λ ( 1 ,   - 1 ,   1 )

Agora, para determinar o ponto O, que é o ponto cujas coordenadas são a projeção ortogonal sobre o plano, basta encontrar a intersecção entre o plano e a reta r que acabamos de definir:

x = 1 + λ  

y = 4 - λ  

z = 2 + λ  

Substituindo x, y e z em função do λ na equação do plano:

  x - y + z - 2 = 0

λ + 1 - 4 - λ + λ + 2 - 2 = 0

λ + 1 + λ - 4 + λ + 2 - 2 = 0

3 λ - 3 = 0

λ = 1

Então agora nós podemos descobrir os valores de x, y e z:

x = 1 + 1 = 2  

y = 4 - 1 = 3  

z = 2 + 1 = 3  

Então o ponto O será ( 2 ,   3 ,   3 ) .

Passo 2

Como nós já sabemos o ponto O nós podemos definir o vetor O P : -

O P - = P - O

O P - = 1 ,   4 ,   2 - 2 ,   3 ,   3 = ( - 1 ,   1 ,   - 1 )

Agora siiim !! Para achar o ponto simétrico ao ponto P em relação ao plano basta nós usarmos:

P ' = O - O P -

P ' = 2 ,   3 ,   3 - ( - 1 ,   1 ,   - 1 )

P ' = 3 ,   2 ,   4

Legal, não foi ??

Resposta

P ' = 3 ,   2 ,   4

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