Enunciado

Obtenha os pontos da interseção dos planos π 1 : x + y = 2 e π 2 : x = y + z que distam 14 3 da reta s : x = y = z + 1 .

Passo 1

Antes de tudo, vamos encontrar a intersecção dos planos π 1 e π 2 , temos o sistema

x + y - 2 = 0 x - y - z = 0

Somando as duas equações, temos

2 x - z - 2 = 0

z = 2 x - 2

Substituindo na segunda equação:

x - y - 2 x + 2 = 0

y = - x + 2

Então, nossa reta tem o formato

x ,   y ,   z = ( x ,   - x + 2 ,   2 x - 2 )

x ,   y ,   z = x ,   - x ,   2 x + ( 0 ,   2 ,   - 2 )

Trocando x por um parâmetro t e colocando em evidência, temos a equação da reta de intersecção dos planos:

r :   x ,   y ,   z = 0 ,   2 ,   - 2 + t . ( 1 ,   - 1 ,   2 )

Passo 2

Um ponto genérico da reta r é P = t ,   2 - t ,   - 2 + 2 t . Queremos saber os valores de t que fazem o ponto P distar 14 3 da reta s :   x = y = z + 1 .

Um ponto genérico da reta s é A = ( α ,   α , α - 1 ) . Escolhendo α = 1 , temos A = ( 1 ,   1 ,   0 ) . Além disso, um vetor diretor de s é s → = ( 1 ,   1 ,   1 ) , que são os denominadores na sua equação simétrica.

Passo 3

A distância entre um ponto de r até s será dado por

d P ,   s = A P → ∧ s → s →

Sabendo que A P → = P - A = t ,   2 - t ,   - 2 + 2 t - 1 ,   1 ,   0 = t - 1 ,   - t + 1 ,   2 t - 2 , então:

d P ,   s = t - 1 ,   - t + 1 ,   2 t - 2 ∧ ( 1 ,   1 ,   1 ) ( 1 ,   1 ,   1 )

Como queremos que essa distância seja 14 3 :

t - 1 ,   - t + 1 ,   2 t - 2 ∧ ( 1 ,   1 ,   1 ) ( 1 ,   1 ,   1 ) = 14 3

( - 3 t + 3 ,   t - 1 ,   2 t - 2 ) ( 1 ,   1 ,   1 ) = 14 3

Calculando os módulos:

14 . | t - 1 | 3 = 14 3

Então

| t - 1 | = 1

t ' = 0     o u     t ' ' = 2

Substituindo os valores de t no ponto P = t ,   2 - t ,   - 2 + 2 t , temos:

P ' = ( 0 ,   2 ,   - 2 )

P ' ' = ( 2 ,   0 ,   2 )

Resposta

P ' = ( 0 ,   2 ,   - 2 )

P ' ' = ( 2 ,   0 ,   2 )

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