Enunciado

Ache bases para os auto-espaços associados a cada autovalor.

c) 1 2 3 4 0 - 1 3 2 0 0 0 0 3 0 3 2

Passo 1

Vamos para mais uma questão!!

Primeiro, vamos montar uma nova matriz (A –xI):

A - x I =   1 - x 2 3                 4 0 - 1 - x 3                 2 0 0 0 0 3 - x 0 3 2 - x

Passo 2

Calculando o determinante da nossa nova matriz:

det ⁡ 1 - x 2 3                 4 0 - 1 - x 3                 2 0 0 0 0 3 - x 0 3 2 - x

det = x 4 - 5 x 3 + 5 x 2 + 5 x - 6

Igualando a zero e resolvendo:

x 4 - 5 x 3 + 5 x 2 + 5 x - 6 = 0

x = -1

x = 1

x = 2

x = 3

Passo 3

Substituindo x = -1 na matriz ( A - x I ):

2 2 3   4 0 0 3   2 0 0 0 0 4 0 3 3

Escalonando:

1 1 0   0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = - a a 0 0

Assim, temos

a(-1, 1, 0, 0)

Substituindo x = 1 na matriz ( A - x I ):

0 2 3   4 0 - 2 3 2 0 0 0 0 2 0 3 1

Escalonando:

0 1 0   0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = a 0 0 0

Assim, temos

a(1, 0, 0, 0)

Substituindo x = 2 na matriz ( A - x I ):

- 1 2 3 4 0 - 3 3   2 0 0 0 0 1 0 3 0

Escalonando:

1 0 0 29 3 0 1 0 7 3 0 0 0 0 1 0 3 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = - 29 a 3 - 7 a 3 - 3 a a

Assim, temos

a( - 29 3 , - 7 3 , -3, 1)

Substituindo x = 3 na matriz ( A - x I ):

- 2 2 3 4 0 - 4 3   2 0 0 0 0 0 0 3 - 1

Escalonando:

1 0 - 9 4 0 0 1 - 3 4   0 0 0 0 0 0 0 1 0

Resolvendo como um sistema ( A - x I ) = 0:

X = 9 a 4 3 a 4 a 0

Assim, temos

a( 9 4 , 3 4 , 1, 0)

Resposta

V1 = (-1, 1, 0, 0)

V2 = (1, 0, 0, 0)

V3 = ( - 29 3 , - 7 3 , -3, 1)

V4 = ( 9 4 , 3 4 , 1, 0)

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