Enunciado

Use a multiplicação matricial para encontrar a imagem do vetor ( - 2 ,   1 ,   2 ) se for girado por um ângulo de θ = - 90 ° em torno do eixo z.

Passo 1

Vamos lá, primeiro para facilitar esse tipo de problema devemos fazer o seguinte.

Como se trata de uma rotação em torno do eixo z , a coordenada correspondente ao eixo não irá mudar, então faremos uma transformação apenas nos eixos x y .

Usando a matriz de rotação R θ apresentada no livro, que é dada por:

cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Sendo θ o ângulo de rotação do vetor:

p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   n e g a t i v o           p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   a n t i - h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   p o s i t i v o

Passo 2

Agora escrevemos as equações em forma de matriz para uma rotação de - 90 ° , dessa forma temos:

R - 90 ° x → = cos ⁡ - 90   ° - sen ⁡ - 90 ° sen ⁡ - 90   ° cos ⁡ - 90 ° * - 2 1  

Passo 3

Realizando a multiplicação:

R - 90 ° x → = - 2 * cos ⁡ - 90 ° + 2 * ( - sen ⁡ - 90 ° ) - 2 * sen ⁡ - 90 ° + 2 * cos ⁡ - 90 °

Logo a imagem de - 2,1 , 2 defletida em um ângulo de - 90 ° é:

1 ,   - 2 ,   2

Resposta

1 ,   - 2 ,   2    

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Em cada parte, encontre a matriz canônica do operador T:R 3→R 3 que transforma cada ponto ( x ,y , z ) reflexão no plano y z .
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Em cada parte, encontre a matriz canônica do operador T:R 3→R 3 que efetue a rotação de cada vetor por 90 ° no sentido anti-horário em torno do eixo x (olhando ao longo do eixo x positivo para a orige
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