Enunciado

Esse problema conduz a uma prova do fato de que a multiplicidade algébrica de um autovalor de uma matriz A de tamanho n × n é maior do que ou igual à multiplicidade geométrica. Para isso, suponha que λ 0 , seja um autovalor de multiplicidade geométrica k

  1. Prove que existe alguma base B = { u 1 → ,   u 2 → , … ,   u n → } de R n na qual os primeiros k vetores formam uma base do auto espaço associado a λ 0
  2. Seja P   a matriz cujos vetores coluna são os vetores de B. Prove que produto AP pode ser dado por [Sugestão: compare os k primeiros caracteres da coluna de ambos os lados.]
  3. A P = P λ 0 I k X 0 Y

  4. Use o resultado da parte (b) para provar que A é semelhante a
  5. C = λ 0 I k X 0 Y

    a e que, portanto, A e C têm o mesmo polinômio característico

  6. Considerando  det ⁡ λ I - C ,   prove que o polinômio característico de C (e, portanto, de A) contém o fator ( λ - λ 0 ) pelo menos k vezes, provando, assim, que a multiplicidade algébrica de λ 0 é maior do que ou igual à multiplicade geométrica k

Passo 1

A questão está nos pedindo para provar o Teorema 5.2.5;

Primeiro, vamos seguir as informações da questão.

Nós temos uma matriz A de dimensão n × n :

A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n   ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n

E quando calcularmos os autovalores dessa matriz, vamos encontrar um autovalor λ 0 que se repete k vezes:

λ 1 = λ 0 λ 2 = λ 0 ⋯ λ k = λ 0 λ k + 1 = λ k + 1 ⋯ λ n = λ n

Cada autovalor deve estar associado a um autovetor u → , então, já que λ 0 aparece k vezes, ele dever estar associado à k autovetores:

λ 1 → u 1 → λ 2 → u 2 → ⋯ λ k → u k → λ k + 1 → u k + 1 → ⋯ λ n → u n →

Logo:

λ 0 → u 1 → λ 0 → u 2 → ⋯ λ 0 → u k → λ k + 1 → u k + 1 → ⋯ λ n → u n →

Se todos estes autovetores formam a base dos autoespaços associados aos autovalores. E por isso são linearmente independentes entre si.

Então, nós possuímos n autovetores de dimensão n   que são linearmente independentes entre si. E no Capítulo 4   do livro aprendemos que um conjunto de n vetores, com dimensão n linearmente independentes formam uma base do espaço vetorial R n

Isso quer dizer que podemos agrupar todos os autovalores em um conjunto B e este conjunto será uma base de R n . Como a ordem dos autovetores não importa, então podemos organizar o conjunto B com os k primeiros vetores sendo os autovetores de λ 0

B = { u 1 → ,   u 2 → , … ,   u n → }

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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No Exercício 3, mostre que A e B não são matrizes semelhantes.A = 1 2 3 0 1 2 0 0 1 , B = 1 2 0 1 / 2 1 0 0 0 1
No Exercício 1, mostre que A e B não são matrizes semelhantes.A = 1 1 3 2 , B = 1 0 3 - 2
Seja A =4 0 1 2 3 2 1 0 4 Encontre os autovalores de A.
No Exercício 2, mostre que A e B não são matrizes semelhantes.A = 4 - 1 2 4 , B = 4 1 2 4
Seja A uma matriz 6 x 6 com equação característica λ 2 λ - 1 λ - 2 3 = 0 . Quais são as possíveis dimensões dos autoespaços de A?