Enunciado

Esse problema conduziu uma prova do fato de que a multiplicacidade algébrica de um autovalor de uma matriz A de tamanho n × n é maior do que ou igual à multiplicidade geométrica. Para isso, suponha que λ 0 , seja um autovalor de multiplicidade geométrica k

  1. Prove que existe alguma base B = { u 1 → ,   u 2 → , … ,   u n → } de R n na qual os primeiros k vetores formam uma base do auto espaço associado a λ 0
  2. Seja P   a matriz cujos vetores coluna são os vetores de B. Prove que produto AP pode ser dado por [Sugestão: compare os k primeiros caracteres da coluna de ambos os lados.]
  3. A P = P λ 0 I k X 0 Y

  4. Use o resultado da parte (b) para provar que A é semelhante a
  5. C = λ 0 I k X 0 Y

    a e que, portanto, A e C têm o mesmo polinômio característico

  6. Considerando  det ⁡ λ I - C ,   prove que o polinômio característico de C (e, portanto, de A) contém o fator ( λ - λ 0 ) pelo menos k vezes, provando, assim, que a multiplicidade algébrica de λ 0 é maior do que ou igual à multiplicade geométrica k

Passo 1

Para isso vamos precisar fazer algumas manipulações algébricas.

Vamos começar com o determinante de λ I - A . Então vamos encontrar a matriz semelhante à ( λ I - A ) multiplicando por P - 1 e P

λ I - A = P - 1 λ I - A P

Sabemos que matrizes semelhantes tem o mesmo determinante, então vamos aplicar o determinante dos dois lados:

det ⁡ λ I - A = det ⁡ P - 1 λ I - A P

Vamos aplicar a propriedade distributiva:

det ⁡ λ I - A = det ⁡ P - 1 λ I P - P - 1 A P

det ⁡ λ I - A = det ⁡ λ I - P - 1 A P

det ⁡ λ I - A = det ⁡ λ I - C

Isso demonstra que o polinômio característico de A e C são iguais

Passo 2

Agora vamos expandir o determinante:

det ⁡ λ I - C = ( λ - λ 0 ) I k - X 0 λ I - Y

Resolvendo o determinante:

det ⁡ λ I - C = det ⁡ λ - λ 0 I k ⋅ det ⁡ λ I - Y - 0 ⋅ det ⁡ ( - X )

I k é a matriz identidade com dimensão k . Contudo, todos os valores da diagonal são compostos por ( λ - λ 0 ) . Ou seja, quando calcularmos o determinante de λ - λ 0 I k , a expressão λ - λ 0 será multiplicada k   vezes:

det ⁡ λ I - C = λ - λ 0 k ⋅ det ⁡ λ I - Y

A expressão acima garante que a multiplicidade mínima de λ 0 é k . Já que não podemos afirmar nada sobre det ⁡ λ I - Y , então é possível que dentro deste determinante o autovalor λ 0 possa se repetir mais algumas vezes.

Ao mesmo tempo, sabemos que λ 0 tem exatamente k autovetores.

Ou seja, é possível que λ 0 se repita mais do que k vezes, mas o seu número de autovetores sempre será k .

E isso demonstra que a multiplicidade algébrica de um autovalor é maior do que ou igual à multiplicidade geométrica.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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