Enunciado

Nos problemas de 2 a 10, determinar a equação geral do plano

5) mediador do segmento de extremos A ( 5 , - 1 ,   4 ) e B ( - 1 ,   - 7 ,   1 ) ;

Passo 1

Neste problema, o nosso desafio é determinar a equação geral do plano mediador do segmento de extremos A ( 5 , - 1 ,   4 ) e B ( - 1 ,   - 7 ,   1 ) , certo?

Então, vamos lá? Aposto que vocês conseguem!

Passo 2

Vamos começar dando nome aos bois..., chamaremos de P o ponto médio pertencendo ao plano mediador e A B → um vetor normal a este plano.

Calculando P , temos:

A P → = P B →

P - A = B - P

2 P = B + A

P = B + A 2 = - 1 , - 7 ,   1 + 5 ,   - 1 ,   4 2

P = 2 , - 4 , 5 2

Passo 3

Como já foi falado o vetor normal ao plano é dado por:

A B → = B - A

A B → = - 1 ,   - 7 ,   1 - 5 , - 1 ,   4 = ( - 6 ,   - 6 , - 3 )

Já a equação geral do plano π é dada por a x + b y + c z + d = 0 , sendo ( a , b , c ) o vetor normal.

Logo, a equação do plano é do tipo:

- 6 x - 6 y - 3 z + d = 0

Passo 4

Por fim, como o ponto P = 2 ,   - 4 , 5 2 pertence ao plano, suas coordenadas devem verificar a equação acima, isto é:

- 6 2 - 6 - 4 - 3 5 2 + d = 0

- 12 + 24 - 15 2 + d = 0

- 24 2 + 48 2 - 15 2 + d = 0

d = - 9 2

Portanto, a equação do plano π é: - 6 x - 6 y - 3 z - 9 2 = 0 .

Escrevendo mais bonitinho, ou seja, multiplicando geral por - 2 3 , temos:

4 x + 4 y + 2 z + 3 = 0

Fechou? 😉

Resposta

4 x + 4 y + 2 z + 3 = 0

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Determinar equações reduzidas na variável x da reta que passa pelo ponto A 3 , - 2,4 e é perpendicular ao plano π : x - 3 y + 2 z - 5 = 0 .
Dado o ponto P 5,2 , 3 e o plano π : 2 x + y + z - 3 = 0 , determinar:A projeção ortogonal de P sobre o plano π ;
Obter equações paramétricas das retas nos casos em que:A reta passa pela origem, é ortogonal à reta r : 2 x = y = 3 z e paralela ao plano π : x - y - z + 2 = 0 .
Encontrar equações paramétricas da reta r que passa por A , é paralela ao plano π e concorrente com a reta s , nos casos: A 3 , - 2 , - 4 , π : 3 x - 2 y - 3 z + 5 = 0 , s : x = 2 + t , y = - 4 - 2 t
Dada a reta r : x = 3 + t , y = 1 - 2 t e z = - 1 + 2 t , determinar equações reduzidas das projeções de r sobre os planos x O y e x O z .