Enunciado

Nos problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas.

17) vértice: V ( 0 ,   0 ) ; eixo y = 0 ; passa por ( 4 ,   5 )

Passo 1

Neste problema, precisamos construir o gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas, certo?

Parece muita coisa, mas é bem tranquilo. Primeiro, vamos encontrar a equação da parábola que respeite as condições dadas e para encerrar, vamos construir o nosso gráfico com o auxílio do software Geogebra. Notem que para o gráfico, precisamos conhecer o vértice, o foco e uma equação diretriz da parábola.

Então, vamos lá?

Passo 2

Antes de colocarmos a mão na massa, precisamos saber se o eixo da parábola é o eixo dos x ou y . Vamos fazer um resuminho.

Sabendo que V = ( h ,   k ) , onde V = ( 0 ,   0 ) :

- Se for o eixo dos y , a equação da parábola na forma reduzida é x 2 = 2 p y , o foco é dado por F h ,   p 2 e a equação da diretriz é dada por y = - p 2 .

- Se for o eixo dos x , a equação da parábola na forma reduzida é y 2 = 2 p x , o foco é dado por F p 2 , k e a equação da diretriz é dado por x = - p 2 .

Passo 3

Pronto, já sabemos tudo que deveríamos! O bizu é pegar as condições dadas no enunciado e comparar com o nosso resumo, assim matamos a questão rapidinho. Sabemos que V ( 0 ,   0 ) , logo:

V h , k = V 0 ,   0 ⇒ h = k = 0

O eixo y = 0 , nos diz que o eixo da parábola o eixo dos x , beleza? E como ele passa pelo ponto P ( 4 ,   5 ) , podemos achar o valor de p e consequentemente a equação da parábola:

y 2 = 2 p x

5 2 = 2 p ( 4 )

25 = 8 p

p = 25 8

Logo, a equação da parábola vai ser dada por:

y 2 = 2 25 8 x

y 2 = 25 4 x

Passo 4

Com o valor de p em mãos, fica fácil acharmos o foco e uma equação da diretriz.

O foco vai ser dado por:

F p 2 ,   k ⇒ F   25 8 2 ,   0 ⇒ F 25 16 ,   0

Já a equação da diretriz vai ser dada por:

x = - p 2 .

x = - - 25 8 2 = 25 16

Passo 5

Por fim, com o auxílio do Geogebra, nós construímos o nosso gráfico:

Resposta

y 2 = 25 4 x

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