Enunciado

Nos problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas.

18) vértice: V ( - 2 ,   3 ) ; foco: F : ( - 2 ,   1 )

Passo 1

Neste problema, precisamos construir o gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas, certo?

Parece muita coisa, mas é bem tranquilo. Primeiro, vamos encontrar a equação da parábola que respeite as condições dadas e para encerrar, vamos construir o nosso gráfico com o auxílio do software Geogebra. Notem que para o gráfico, precisamos conhecer o vértice, o foco e uma equação diretriz da parábola.

Então, vamos lá?

Passo 2

Antes de colocarmos a mão na massa, precisamos saber se o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x ou y . Vamos fazer um resuminho.

Sabendo que V = ( h ,   k ) ≠ ( 0 ,   0 ) :

- Se for paralelo ao eixo dos y , a equação da parábola na forma padrão é x - h 2 = 2 p ( y - k ) , o foco é dado por F h , k + p 2 e a equação da diretriz é dada por y = k - p 2 .

- Se for paralelo ao eixo dos x , a equação da parábola na forma padrão é y - k 2 = 2 p ( x - h ) , o foco é dado por F h + p 2 ,   k e a equação da diretriz é dado por x = h - p 2 .

Notem, que quando for paralelo ao eixo dos y , os PRIMEIROS valores do vértice V e do foco F serão iguais, caso seja paralelo ao eixo dos x , os SEGUNDOS valores de V e F que serão iguais.

Passo 3

Pronto, já sabemos tudo que deveríamos! O bizu é pegar as condições dadas no enunciado e comparar com o nosso resumo, assim matamos a questão rapidinho. Sabemos que V ( - 2 ,   3 ) , logo:

V h , k = V - 2 ,   3 ⇒ h = - 2 ;   k = 3

Já temos os valores de h e k . Agora, sabendo que foco: F : ( - 2 ,   1 ) , podemos achar o valor de p . Não podemos nos esquecer daquele lembrete, como os PRIMEIROS valores V e F são iguais, o eixo é paralelo ao eixo dos y . 😉

F h , k + p 2 = F - 2 ,   1

h = - 2 ;

k + p 2 = 1 ⇒ 3 + p 2 = 1 ⇒ p 2 = - 2 ⇒ p = - 4

Passo 4

Com o valor de p em mãos, fica fácil acharmos uma equação diretriz e a equação da parábola.

A equação da diretriz vai ser dada por:

y = k - p 2

y = 3 - - 4 2

y = 3 + 2 = 5

Já a equação da parábola vai ser dada por:

x - h 2 = 2 p ( y - k )

x - ( - 2 ) 2 = 2 - 4 y - 3

x + 2 2 = - 8 y - 3

Chegando até aqui, já está certo, mas podemos escrever mais bonitinho...

x 2 + 4 x + 4 = - 8 y + 24

x 2 + 4 x - 20 = - 8 y

Passo 5

Por fim, com o auxílio do Geogebra, nós construímos o nosso gráfico:

Resposta

x + 2 2 = - 8 y - 3     o u     x 2 + 4 x - 20 = - 8 y

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