Enunciado

Nos problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas.

26) vértice: V ( - 2 ,   3 ) ; eixo x + 2 = 0 , passando pelo ponto P ( 2 ,   0 )

Passo 1

Neste problema, precisamos construir o gráfico e obter uma equação que satisfaça as condições dadas, certo?

Parece muita coisa, mas é bem tranquilo. Primeiro, vamos encontrar a equação da parábola que respeite as condições dadas e para encerrar, vamos construir o nosso gráfico com o auxílio do software Geogebra. Notem que para o gráfico, precisamos conhecer o vértice, o foco e uma equação diretriz da parábola.

Então, vamos lá?

Passo 2

Antes de colocarmos a mão na massa, precisamos saber se o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x ou y . Vamos fazer um resuminho.

Sabendo que V = ( h ,   k ) ≠ ( 0 ,   0 ) :

- Se for paralelo ao eixo dos y , a equação da parábola na forma padrão é x - h 2 = 2 p ( y - k ) , o foco é dado por F h , k + p 2 e a equação da diretriz é dada por y = k - p 2 .

- Se for paralelo ao eixo dos x , a equação da parábola na forma padrão é y - k 2 = 2 p ( x - h ) , o foco é dado por F h + p 2 ,   k e a equação da diretriz é dado por x = h - p 2 .

Notem, que quando for paralelo ao eixo dos y , os PRIMEIROS valores do vértice V e do foco F serão iguais, caso seja paralelo ao eixo dos x , os SEGUNDOS valores de V e F que serão iguais.

Passo 3

Pronto, já sabemos tudo que deveríamos! O bizu é pegar as condições dadas no enunciado e comparar com o nosso resumo, assim matamos a questão rapidinho. Sabemos que V ( - 2 ,   3 ) , logo:

V h , k = V - 2 ,   3 ⇒ h = - 2 ;   k = 3

Já temos os valores de h e k . Sabendo que o eixo tem essa cara x + 2 = 0 e passa pelo ponto P x , y = P ( 2 ,   0 ) , podemos achar o valor de p e consequentemente a equação da parábola:

x - h 2 = 2 p y - k

2 - - 2 2 = 2 p 0 - 3

4 2 = 2 p - 3

16 = - 6 p

p = - 16 6 = - 8 3

Logo, a equação da parábola vai ser dada por:

x - - 2 2 = 2 8 3 y - 3

x + 2 2 = - 16 3 ( y - 3 )

Chegando até aqui, já está certo, mas podemos escrever mais bonitinho...

x 2 + 4 x + 4 = - 16 3 y + 16

x 2 + 4 x - 12 = - 16 3 y

Achamos a equação da parábola, mas ainda precisamos do foco e uma equação diretriz para construirmos o nosso gráfico. 😉

Passo 4

Com o valor de p em mãos, fica fácil acharmos o foco e uma equação da diretriz.

O foco vai ser dado por:

F h , k + p 2

F - 2 ,   3 + - 8 3 2 ⇒ F - 2 ,   3 - 8 6 ⇒ F 2 , 18 6 - 8 6 ⇒ F 2 ,   5 3

Já a equação de uma diretriz vai ser dada por:

y = k - p 2

y = 3 - - 8 3 2 = 3 + 8 6 = 18 6 + 8 6 = 26 6 = 13 3

Passo 5

Por fim, com o auxílio do Geogebra, nós construímos o nosso gráfico:

Resposta

x + 2 2 = - 16 3 y - 3     o u     x 2 + 4 x - 12 = - 16 3 y

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