Enunciado

Nos problemas 7-16, se possível, fatore o operador diferencial dado.

D 4 - 8 D 2 + 16

Passo 1

E aí cara, tudo bom??

Vamos lá matar esse probleminha

Queremos fatorar operadores diferenciais, ou seja, vamos decompor o termo que foi dado em um produto de fatores, blz??

Para isso, vamos encontrar as raízes: os valores de D que fazem o operador diferencial zerar

Juro que já to terminando a explicação, só mais uma coisinha hehehe

Temos que lembrar que se um polinômio tem raízes D = 1 e D = 2 , por exemplo, ele pode ser escrito como

D - 1 . ( D - 2 )

Agora e se uma das raízes for negativa? Tipo D = 1 e D = - 2 ? Aí ele pode ser escrito assim:

D - 1 . D - - 2 = D - 1 . ( D + 2 )

Agora sim, bora lá!

Passo 2

O operador diferencial aqui é

D 4 - 8 D 2 + 16

Vamos igualar isso a 0 para encontrarmos as raízes:

D 4 - 8 D 2 + 16 = 0

Temos uma equação biquadrada, então vamos chamar uma variável u = D ² , dessa forma, temos u 2 = D 4 , sacou?

Substituindo:

u 2 - 8 u + 16 = 0

∆ = - 8 2 - 4.1 . 16 = 0

Então:

u = 8 ± 0 2 = 4

Então temos uma raíz dupla em u = 4 , agora precisamos voltar pra variável D

Passo 3

Temos

u = 4

Mas sabemos que

u = D ²

Então

D 2 = 4

D = ± 2

E como a raíz era de ordem dupla, vamos colocar um “ao quadrado” nos dois termos, então:

D + 2 2 . ( D - 2 ) ²

Resposta

D + 2 2 . ( D - 2 ) ²

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4. Mostrar que f t = t é uma solução de y ' ' + y = f t
3. Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais:a) f ' = 0 ; b) f n = 0 c) f ' = f d) f ' = a fa∈ R .
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1. Achar a solução geral de cada um das seguintes equações:a) y ' ' + y ' - 6 y = 0 b) D 2 + 2 D - 15 y = 0 c) D 3 + D 2 - 2 D y = 0 d) D 3 + 2 D 2 - 5 D - 6 y = 0 e) D 4 - 6 D 3 + 12 D 2 - 8 D y = 0