Enunciado

Prove que se C for uma matriz n × n cujas entradas são não negativas e cujas somas das entradas de linhas são menores que 1, então I - C é invertível e tem entradas não negativas. [Sugestão: A T - 1 = A - 1 T para uma matriz invertível qualquer A ]

Passo 1

Nessa questão, temos vamos considerar que a matriz C tem as somas das entradas nas linhas menor que 1. Então, sua transposta terá a soma das colunas menores que 1.

Se C tem a soma das colunas menores que 1, a matriz ( I - C ) é invertível e a I - C - 1 tem entradas não negativas

Passo 2

Vamos usar então da relação que achamos no primeiro passo.

I - C T   é   i n v e r t í v e l I - C T - 1   t e m   e n t r a d a s   n ã o   n e g a t i v a s

I - C = I T - C T T

I - C = I - C T T

Passo 3

Agora, vamos ver a inversa de I - C .

I - C - 1 = I T - C T T - 1

I - C - 1 = I - C T - 1 T

Logo, se I - C T - 1 tem entradas não negativas, I - C T - 1 T também tem entradas não negativas.

Resposta

I - C T - 1 T também tem entradas não negativas.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine quais das matrizes abaixo têm uma linha que ´e combinação linear das outras duas: 1 3 3 2 1 1 2 2 3 , 1 3 3 2 1 1 1 8 8 , 2 1 1 - 1 2 3 3 4 5 , 1 2 3 4 5 6 7 8 8
Seja m uma matriz 3x3 . Se o sistema linear homogêneo m . x = 0 admite uma única solução x = ( 0,0 , 0 ) prove que para todo d = ( d 1 , d 2 , d 3 ) , o sistema linear m . x = d admite uma única soluç
Prove que uma matriz m, do tipo 3x3 é invertível se, e somente se, para toda matriz não-nula x, com três linhas e uma só coluna, tem-se m . x ≠ 0 .
Seja m uma matriz 2x3 . Indicando com m 1 ,m 2em 3 respectivamente as matrizes 2x2 obtidas de m quando se omitem a primeira, a segunda e a terceira coluna, mostre que det . ⁡ m m t = det ⁡ . m 1 2 + (
Ache números α ,β de modo que os múltiplos α me β n das matrizes abaixo sejam matrizes ortogonais. m = 2 - 2 1 1 2 2 2 1 - 2 n = 6 3 2 - 3 2 6 2 - 6 3