Enunciado

31. Prove que a Fórmula (4) define um produto interno em R n .

Passo 1

Opaaa... beleza???

Primeira coisa que vamos fazer é separar essa bendita fórmula (4):

u → , v → = A u → ⋅ A v →

Onde u → e v → são vetores em R n em forma de coluna e A uma matriz n × n invertível.

Queremos provar que isso é um produto interno em R n . Pra provar vamos ter que verificar se os quatro axiomas são satisfeitos:

1. u → , v → = v → , u →

2. u → + v → , w → = u → , w → + v → , w →

3. α u → , v → = α u → , v →

4. v → , v → ≥ 0 e v → , v → = 0 se, e só se, v → = 0 .

Passo 2

Vamos pegar uma matriz n × n qualquer:

A = a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n  

Vetores coluna:

u → = u 1 u 2 ⋮ u n

v → = v 1 v 2 ⋮ v n

E fazendo o produto de matrizes A u → :

A u → = a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n u 1 u 2 ⋮ u n

A u → = a 11 u 1 + a 12 u 2 + … + a 1 n u n a 21 u 1 + a 22 u 2 + … + a 2 n u n ⋮ a n 1 u 1 + a n 2 u 2 + … + a n n u n

E agora A v → :

A v → = a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n v 1 v 2 ⋮ v n

A v → = a 11 v 1 + a 12 v 2 + … + a 1 n v n a 21 v 1 + a 22 v 2 + … + a 2 n v n ⋮ a n 1 v 1 + a n 2 v 2 + … + a n n v n

Fazendo o produto interno:

A u → ⋅ A v → = a 11 u 1 + a 12 u 2 + … + a 1 n u n a 11 v 1 + a 12 v 2 + … + a 1 n v n

+ a 21 u 1 + a 22 u 2 + … + a 2 n u n a 21 v 1 + a 22 v 2 + … + a 2 n v n

+ … + a n 1 u 1 + a n 2 u 2 + … + a n n u n a n 1 v 1 + a n 2 v 2 + … + a n n v n

Passo 3

Para o primeiro axioma temos:

u → , v → = v → , u →

Então bora fazer o lado direito:

v → , u → = A v → ⋅ A u →

Já calculamos essas coisas no passo 2, né?

A v → ⋅ A u → = a 11 v 1 + a 12 v 2 + … + a 1 n v n a 11 u 1 + a 12 u 2 + … + a 1 n u n

+ a 21 v 1 + a 22 v 2 + … + a 2 n v n a 21 u 1 + a 22 u 2 + … + a 2 n u n

+ … + a n 1 v 1 + a n 2 v 2 + … + a n n v n a n 1 u 1 + a n 2 u 2 + … + a n n u n

E conseguimos ver que realmente são iguais:

u → , v → = v → , u →

Axioma 1 cheeeeck.

Passo 4

Para o segundo axioma:

u → + v → , w → = u → , w → + v → , w →

Vamos definir um vetor qualquer:

w = w 1 w 2 ⋮ w n

Se somarmos os vetores u → e v → :

u → + v → = u 1 + v 1 u 2 + v 2 ⋮ u n + v n

Então o produto escalar:

u → + v → , w →

= a 11 u 1 + v 1 + a 12 u 2 + v 2 + … + a 1 n u n + v n a 11 w 1 + a 12 w 2 + … + a 1 n w n

+ a 21 u 1 + v 1 + a 22 u 2 + v 2 + … + a 2 n u n + v n a 21 w 1 + a 22 w 2 + … + a 2 n w n

+ … + a n 1 u 1 + v 1 + a n 2 u 2 + v 2 + … + a n n u n + v n a n 1 w 1 + a n 2 w 2 + … + a n n w n

Repara que podemos abrir em:

u → + v → , w → = ( a 11 u 1 + a 11 v 1 + … + a 1 n u n + a 1 n v n ) a 11 w 1 + … + a 1 n w n

+ … + ( a n 1 u 1 + a n 1 v 1 + … + a n n u n + a n n v n ) a n 1 w 1 + … + a n n w n

E podemos reagrupar de tal forma:

u → + v → , w → = a 11 u 11 + … a 1 n u n + a 11 v 1 + … + a 1 n v n a 11 w 1 + … + a 1 n w n

+ … + a n 1 u 1 + … + a n n u n + a n 1 v 1 + … + a n n v n a n 1 w 1 + … + a n n w n

Que isso tudo vira:

= a 11 u 11 + … a 1 n u n a 11 w 1 + … + a 1 n w n + a 11 v 1 + … + a 1 n v n a 11 w 1 + … + a 1 n w n

+ … + a n 1 u 1 + … + a n n u n a n 1 w 1 + … + a n n w n + a n 1 v 1 + … + a n n v n a n 1 w 1 + … + a n n w n

Ohhh... e repara bem que isso é igual a:

= a 11 u 11 + … a 1 n u n a 11 w 1 + … + a 1 n w n + … + a n 1 u 1 + … + a n n u n a n 1 w 1 + … + a n n w n

a 11 v 1 + … + a 1 n v n a 11 w 1 + … + a 1 n w n + a n 1 v 1 + … + a n n v n a n 1 w 1 + … + a n n w n

= u → , w → + v → , w →

Shoooww... Conseguimos provar que:

u → + v → , w → = u → , w → + v → , w →

Segundo axioma cheeeeck...

Passo 5

Vamos pro terceiro axioma:

α u → , v → = α u → , v →

Com:

α u → = α u 1 α u 2 ⋮ α u n

Então vamos ter o produto interno:

α u → , v → = a 11 α u 1 + … + a 1 n α u n a 11 v 1 + … + a 1 n v n

+ … + a n 1 α u 1 + … + a n n α u n a n 1 v 1 + … + a n n v n

Como temos α em todos os termos na primeira parcela, então:

= α a 11 u 1 + … + a 1 n u n a 11 v 1 + … + a 1 n v n

+ … + α a n 1 u 1 + … + a n n u n a n 1 v 1 + … + a n n v n

E ainda podemos melhorar colocando em evidência de novo, mas em relação a cada soma de parênteses:

= α a 11 u 1 + … + a 1 n u n a 11 v 1 + … + a 1 n v n + … + a n 1 u 1 + … + a n n u n a n 1 v 1 + … + a n n v n

= α u → , v →

Pois muito que bem conseguimos provar o terceiro aquioma:

α u → , v → = α u → , v →

Terceiro axioma também cheeeeck...

Passo 6

Bora lá que só falta um...

O quarto axioma:

v → , v → ≥ 0   e   v → , v → = 0   s e ,   e   s ó   s e ,   v → = 0

Fazendo o produto interno:

v → , v → = a 11 v 1 + … + a 1 n v n a 11 v 1 + … + a 1 n v n + … + a n 1 v 1 + … + a n n v n a n 1 v 1 + … + a n n v n

Repara que temos, então:

= a 11 v 1 + … + a 1 n v n 2 + … + a n 1 v 1 + … + a n n v n 2

E coisas elevadas ao quadrado ou são iguais a zero ou são sempre positivas.

Então já podemos afirmar que:

v → , v → ≥ 0

Passo 7

Maaass ainda falta a segunda parte:

v → , v → = 0   s e ,   e   s ó   s e ,   v → = 0

Como tem essa bendita expressão “se, e só se” vamos dividir a prova em duas partes.

A primeira vai ser mostrar que se v → , v → = 0 , então v → = 0 .

Bom... já temos que:

v → , v → = a 11 v 1 + … + a 1 n v n 2 + … + a n 1 v 1 + … + a n n v n 2

E, de fato, para v → , v → = 0 temos duas opções. Ou todoooos os a ' s são iguais a zero ou v → = 0 .

Mas se todos os elementos de A fossem iguais a zero, a matriz não seria invertível, porque o determinante de A   daria zero.

(lembra que pra uma matriz ser invertível o determinante tem que ser diferente de zero?)

Então só nos resta v → = 0 .

Agora a segunda parte é mostrar que se v → = 0 , então v → , v → = 0 .

E, de fato, né? Se a gente substitui v → = 0 :

v → , v → = a 11 0 + … + a 1 n 0 2 + … + a n 1 0 + … + a n n 0 2

v → , v → = 0

E conseguimos mostrar as duas partes.

Poissss, então conseguimos mostrar o quarto axioma:

v → , v → = 0   s e ,   e   s ó   s e ,   v → = 0

Quarto axioma cheeeck.

E, depois de muito sufoco, acabamos. =)

Resposta

Prova nos passos

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