Enunciado

Podemos definir uma “distância” entre dois pontos P = ( x 1 , y 1 ) e Q = ( x 2 , y 2 ) do plano por d P , Q = x 2 - x 1 + | y 2 - y 1 | (veja a Figura 8.9.1). Verifique se a aplicação dada por:

< x 1 , y 1 , x 2 , y 2 >   = d ( P , Q )

Define um produto interno no plano.

Passo 1

Bom, não temos muito o que fazer: vamos verificar os axiomas.

  1. < x 1 , y 1 , x 1 , y 1 >   = x 1 - x 1 + y 1 - y 1 = 0

Opa, pera aí, isso é zero para qualquer vetor do plano, inclusive os não nulos. Mas isso contraria o primeiro axioma, que diz que esse produto só é nulo se o vetor for nulo.

Resposta

Não é um produto interno.

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Use a Fórmula 4 para mostrar que u , v = 9 u 1 v 1 + 4 u 2 v 2 é o produto interno em R 2 gerado por A = 3 00 2 Use o produto interno da parte a para calcular u , v com u = - 3,2 e v = 1,7 .
Mostre que vale a identidade dada com vetores de qualquer espeço com produto interno. u + v 2 + u - v 2 = 2 u 2 + 2 v 2
Sejam u = u 1 , u 2 e v = v 1 , v 2 . Em cada parte, a expressão dada é um produto interno em R 2 . Encontre a raiz que gera esse produto interno. u , v = 3 u 1 v 1 + 5 u 2 v 2 u , v = 4 u 1 v 1 + 6 u
Em cada parte, use o produto interno em R 2 dado para calcular w , com w = - 1,3 .O produto interno euclidiano.O produto interno euclidiano ponderado u , v = 3 u 1 v 1 + 2 u 2 v 2 , com u = u 1 , u 2
Suponha que P 2 tenha o produto interno do E x e m p l o7 . Em cada parte, encontre p . p = - 2 + 3 x + 2 x 2 p = 4 - 3 x 2