Enunciado

Repita o E x e r c í c i o 5 com o produto interno em R^2 gerado por [[[1],[2]] [[0],[- 1]]] .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item a:

〈u , v〉 = v^T A^T A u

Sabendo que:

A^T A = [[[1],[0]] [[2],[- 1]]] [[[1],[2]] [[0],[- 1]]] = [[[5],[- 2]] [[- 2],[1]]]

Temos que:

〈u , v〉 = (- 1,1) [[[5],[- 2]] [[- 2],[1]]] ([[2],[1]])

〈u , v〉 = - 11

Passo 2

Item b:

〈v , w〉 = w^T A^T A v

Portanto:

〈v , w〉 = (0 , - 1) [[[5],[- 2]] [[- 2],[1]]] ([[- 1],[1]])

〈v , w〉 = - 3

Passo 3

Item c:

Sabendo que:

〈u + v , w〉 = 〈u , w〉 + 〈v , w〉

Temos que:

〈u + v , w〉 = w^T A^T A u + w^T A^T A v

〈u + v , w〉 = (0 , - 1) [[[5],[- 2]] [[- 2],[1]]] ([[2],[1]]) + (0 , - 1) [[[5],[- 2]] [[- 2],[1]]] ([[- 1],[1]])

〈u + v , w〉 = 3 - 3

〈u + v , w〉 = 0

Passo 4

Item d:

Temos que:

||v|| = sqrt(〈v , v〉)

Logo:

||v|| = sqrt(v^T A^T A v)

||v|| = sqrt((- 1 , 1) [[[5],[- 2]] [[- 2],[1]]] ([[- 1],[1]]))

||v|| = sqrt(1 0)

Passo 5

Item e:

Para o item e, temos que:

d (v , w) = ||v - w||

Resolvendo, temos que:

d (v , w) = sqrt(〈(v - w) , (v - w)〉)

d (v , w) = sqrt((v - w)^T A^T A (v - w))

Temos que:

v - w = ([[- 1],[1]]) - ([[0],[- 1]]) = ([[- 1],[2]])

d (v , w) = sqrt((- 1 , 2) [[[5],[- 2]] [[- 2],[1]]] ([[- 1],[2]]))

Ou seja:

d (v , w) = sqrt(17)

Passo 6

Item f:

Temos que:

||v - w||^2 = (d (v , w))^2

Como d (v , w) = sqrt(17) , temos que:

||v - w||^2 = sqrt(17)^2 = 1 7

Resposta

a ) 〈u , v〉 = - 11

b ) 〈v , w〉 = - 3

c ) 〈u + v , w〉 = 0

d ) ||v|| = sqrt(10)

e ) d (v , w) = sqrt(17)

f ) ||v - w||^2 = 1 7

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