Enunciado

Prove que matrizes semelhantes possuem o mesmo traço.

Passo 1

Seja uma matriz A de dimensão n × n

Uma matriz B será semelhante a matriz A se respeitar a relação

B = P - 1 A P

Passo 2

Vamos calcular o traço de B:

t r B = t r P - 1 A P

É uma propriedade que: t r X Y = t r Y X . Então podemos reorganaziar o traço do lado direito:

t r B = t r A P P - 1

E sabemos que o produto entre uma matriz e sua inversa é igual a identidade:

t r B = t r A I

E o produto entre uma matriz e a identidade é a própria matriz:

t r B = t r A

Isso demonstra que o traço de matrizes semelhantes é o mesmo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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