Enunciado

Seja P Q uma corda da hipérbole H , com uma extremidade em cada ramo (por exemplo, P em H 2 , Q em H 1 ). Prove que:

  1. d P , Q ≥ 2 a ;
  2. d P , Q = 2 a se, e somente se, P Q é o eixo transverso A 1 A 2 .

Passo 1

Vamos começar provando a letra a). Para isto, vamos escolher uma hipérbole expressa por:

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

Tanto faz a hipérbole que estamos trabalhando. Estamos escolhendo esta apenas para facilitar a nossa análise.

Vamos utilizar a notação que a questão nos pediu. Seja P = x 1 , y 1 ∈ H 2 e Q = x 2 , y 2 ∈ H 1 , sendo H 2 o ramo direito e H 1 o ramo esquerdo.

Sabemos também que x 1 ≥ a e x 2 ≤ - a .

Até agora o que fizemos foi expressar as relações pelas condições do problema. Agora é que vamos fazer algo realmente. Vamos calcular a distância entre os pontos P e Q .

d P , Q = x 1 - x 2 2 + y 1 - y 2 2

Só que:

y 1 - y 2 2 ≥ 0

Portanto,

x 1 - x 2 2 + y 1 - y 2 2 ≥ x 1 - x 2 2 = x 1 - x 2

Portanto,

d P , Q ≥ x 1 - x 2 ≥ a - - a = 2 a

Portanto,

d P , Q ≥ 2 a = 2 a

E assim provamos a nossa primeira relação!

Passo 2

Para provarmos a letra b), precisamos verificar as condições entre as coordenadas para que a nossa inequação se transforme em uma equação.

A dica é simplesmente ver os passos que escrevemos equações. Lá, devemos nos perguntar: o que deveríamos ter feito para que aqui fosse uma igualdade?

Por exemplo, vejamos o caso abaixo:

x 1 - x 2 2 + y 1 - y 2 2 ≥ x 1 - x 2 2

Para que a relação acima seja uma igualdade, precisamos fazer y 1 - y 2 2 = 0 . Ou, simplesmente, y 1 = y 2 . Pronto, já temos uma primeira relação entre os dois pontos.

Continuando, o segundo passo que escrevemos uma igualdade foi:

x 1 - x 2 ≥ a - - a = 2 a

x 1 - x 2 ≥ 2 a

O que deveríamos ter feito para que esta inequação se tornasse uma equação:

Simplesmente, deveríamos ter feito x 1 = a e x 2 = - a . Com estas coordenadas de x , automaticamente temos y 1 = y 2 = 0 . E portanto, temos os pontos:

P = a , 0

Q = - a , 0

O que implica no ponto P Q ser o eixo transverso A 1 A 2 . Assim, provamos a nossa relação.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Ache a equação da hipérbole satisfazendo as condições dadas e faça um esboço do gráfico.Centro em - 2 ,- 1 , um vértice em - 2 ,11 e um foco - 2 ,14 .
Os vértices de uma hipérbole estão em - 3 ,- 1 e - 1 ,- 1 , e a distância entre os focos é 2 5 . Ache (a) a equação da hipérbole e (b) a equação das assíntotas.
Ache a equação da hipérbole satisfazendo as condições dadas e faça um esboço do gráfico.Um foco em - 3 - 3 13 ,1 , as assíntotas interceptam-se em - 3 ,1 e uma assíntota passa pelo ponto 1 ,7 .
Ache a equação da reta tangente à hipérbole 4 x 2 - y 2 = - 1 no ponto 1 2 ,2 .
Ache a equação da hipérbole cujos os focos são os vértices da elipse 7 x 2 + 11 y 2 = 77 e cujos os vértices são os focos dessa elipse.