Enunciado

15. Prove que se, u →   e   v → são vetores não-nulos e paralelos, então u → + v → 2 ≠ u → 2 + v → 2

Passo 1

Inicialmente sabemos que se u →   e   v → são vetores não-nulos e paralelos, então.

u → = α v →

E α ≠ 0 , pois esses vetores são não-nulos.

Passo 2

Vamos fazer a soma normalmente, depois faremos a norma.

u → + v → = α v → + v → = v → α + 1

α é um escalar, então α + 1 também é!

Aplicando a norma dos dois lados, temos:

u → + v → = v → α + 1

Só que temos essa propriedade aqui:

λ w → = λ w →

Reescrevendo essa expressão, temos:

u → + v → = v → α + 1 = α + 1 v →

Agora para encontrarmos o que a gente quer precisamos elevar ambos os dois lados ao quadrado.

u → + v → 2 = α + 1 2 v → 2

u → + v → 2 = α 2 + 2 α + 1 v → 2

Passo 3

Agora faremos essa expressão.

u → 2 + v → 2

Lembrando que u → = α v →

Aplicando a norma de ambos os lados:

u → = α v → = α v →

Voltando para a expressão do início, temos:

u → 2 + v → 2 = α v → 2 + v → 2 = α 2 v → 2 + v → 2

Paramos nessa expressão

u → 2 + v → 2 = α 2 v → 2 + v → 2

Botando em evidência o termo v → 2 :

u → 2 + v → 2 = v → 2 α 2 + 1

Então temos que

u → 2 + v → 2 = v → 2 α 2 + 1

e

u → + v → 2 = α 2 + 2 α + 1 v → 2

Esses dois valores nunca serão iguais para α ≠ 0 , então

u → 2 + v → 2 ≠ u → + v → 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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