Enunciado

Verificar quais das seguintes matrizes são ortogonais e, dentre estas, determinar as que representam rotações:

3 5 - 4 5 4 5 3 5

Passo 1

A questão pede para dizermos se a matriz é ortogonal ou não. Para que ela seja ortogonal, sua inversa deve ser igual a sua transposta.

Como se trata de uma matriz 2 × 2 , podemos usar o seguinte truque para achar a inversa:

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Assim,

A - 1 = 1 9 25 + 16 25 3 5 4 5 - 4 5 3 5 = 3 5 4 5 - 4 5 3 5

Passo 2

Para obter a transposta, basta trocar linha com coluna:

A t = 3 5 4 5 - 4 5 3 5

Assim, vemos que A t = A - 1 , logo a matriz é ortogonal!

Além disso,

det ⁡ A = 9 25 + 16 25 = 1

Como det ⁡ A = 1 , essa matriz representa uma rotação!

Resposta

É ortogonal e representa uma rotação.

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