Enunciado

30. (Requer Cálculo) Suponha que C [ 0 , π ] tenho o produto interno

f , g = ∫ 0 π f x g x   d x

E seja f n = cos ⁡ n x   n = 0,1 , 2 , … . Mostre que se k ≠ l , então f k e f l são vetores ortogonais.

Passo 1

Bem... vamos chamar:

f k = cos ⁡ ( k x )  

f l = cos ⁡ l x

Fazendo o produto interno:

f k , f l = ∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x

E para serem ortogonais temos que mostrar que esse produto interno é igual a zero.

Passo 2

Pra resolver essa integral vamos ter que usar integração por partes...

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Se a gente chamar:

u = cos ⁡ k x

d v = cos ⁡ l x

Então:

d u = - k   s e n k x

v = s e n l x l

Substituindo:

∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x = cos ⁡ k x s e n   l x l 0 π - ∫ 0 π s e n   l x l - k   s e n   k x d x

∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x = cos ⁡ k x s e n   l x l 0 π + ∫ 0 π k l s e n k x   s e n l x d x

∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x = cos ⁡ k x s e n   l x l 0 π + k l ∫ 0 π s e n k x   s e n l x d x

Vamos resolver a parte já pronta pra liberar espaço rs:

cos ⁡ k x s e n   l x l 0 π = cos ⁡ k π s e n l π l - cos ⁡ k 0 s e n l 0 l = 0

Então fica:

∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x = k l ∫ 0 π s e n k x   s e n l x d x                       *

Passo 3

Apareceu outra intgral... affff... mas, um segredo aqui pra você levar pra calculo

Resolvendo a integral que apareceu por partes também:

Chamando:

u = s e n k x

d v = s e n l x

Então:

d u = k cos ⁡ k x

v = - cos ⁡ l x l

Substituindo na formula:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ 0 π s e n k x   s e n l x d x = - s e n k x cos ⁡ l x l 0 π - ∫ 0 π - cos ⁡ l x l k cos ⁡ k x d x  

∫ 0 π s e n k x   s e n l x d x = - s e n k x cos ⁡ l x l 0 π + k l ∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x  

Resolvendo a parte pronta:

- s e n k x cos ⁡ l x l 0 π = - s e n k π cos ⁡ l π l - - s e n k 0 cos ⁡ l 0 l = 0

Então fica:

∫ 0 π s e n k x   s e n l x d x = k l ∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x                       * *

Passo 4

Agora substituindo * * em * :

∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x = k l k l ∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x

∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x = k l 2 ∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x

Vamos passar tudo pra um lado só:

∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x - k l 2 ∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x = 0

1 - k l 2 ∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x = 0

∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x = 0 1 - k l 2

Como k ≠ l ,

∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x = 0

Como queríamos demonstrar.

Resposta

∫ 0 π cos ⁡ k x cos ⁡ l x d x = 0

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16. Em cada parte, encontre uma base do complemento ortogonal do subespaço de R n gerado pelos vetores dados.(a) v 1 = ( 1 , - 1,3 ) , v 2 = ( 5 , - 4 , - 4 ) , v 3 = 7 , - 6,2 (b) v 1 = ( 2,0 , - 1 )
21. Seja { w 1 , w 2 , … ,w k } uma base de algum subespaço W de V . Mostre que W ⊥ consiste em todos os vetores de V que são ortogonais a cada um dos vetores da base.
25. Prove: se w 1 , w 2 , … ,w n forem números reais positivos e se u = ( u 1 , u 2 , … , u n ) e v = ( v 1 , v 2 , … , v n ) forem dois vetores quaisquer em R n , então w 1 u 1 v 1 + w 2 u 2 v 2 + …
22. Prove a generalização do Teorema 6.2.3 a seguir. Se v → 1 ,v → 2 , … ,v → r forem vetores dois a dois ortogonais de um espaço com produto interno V , então v → 1 + v → 2 + … + v → r = v → 1 2 + v
28. Os vetores u = 1 , 3 e v = - 1 , 3 indicados na figura dada têm norma 2 e o ângulo de 60° entre eles em relação ao produto interno euclidiano. Encontre um produto interno euclidiano ponderado em r