Enunciado

Responda Verdadeiro ou Falso, justificando:

(a) Se A 2 = - 2 A 4 , então I + A 2 - 1 = I - 2 A 2 ;

(b) Se A t = - A 2 e é não singular, então determinante de A é - 1 ;

(c) Se B = A A t A - 1 , então d e t   ( A ) = d e t ( B ) .

(d) d e t   ( A + B ) = d e t   ( A ) + d e t ( B )

Passo 1

E aí, galera! Tudo belezinha? Então, bora lá detonar mais uma questão!

(a)Para verificar I + A 2 - 1 = I - 2 A 2 , vamos multiplicar por I + A 2 em ambos os lados. No lado esquerdo, devemos ter a matriz identidade, pois

I + A 2 - 1 I + A 2 = I

Basicamente, temos que ver se I - 2 A 2 I + A 2 = I , usando A 2 = - 2 A 4 . Se sim, então a afirmação da questão é verdadeira. Nós temos

I - 2 A 2 I + A 2 = I 2 - 2 A 2 ⋅ I + I ⋅ A 2 - 2 A 4 = I - 2 A 2 + A 2 + A 2 = I

Então, a afirmação é verdadeira.

Passo 2

(b) Galerinha, a matriz singular é aquela que não possui inversa. Nesse caso, o determinante tem que ser 0 . Como a matriz A é não singular, então d e t   A ≠ 0 . Além disso, o determinante tem propriedades que podemos usar, como d e t   ( A t ) = d e t   A , d e t   ( A B ) = d e t ( A )   d e t ( B ) e d e t ( α A ) = α n d e t ( A ) . Sendo assim, temos

d e t   - A 2 = d e t ( - A ) d e t ( A ) = ( - 1 ) n d e t A 2

Então, se a gente assumir que A t = - A 2 é verdadeira, então

A t = - A 2 ⇒   d e t A t = d e t - A 2

⇒ d e t   A = ( - 1 ) n d e t A 2

⇒ 1 = ( - 1 ) n d e t A

⇒ d e t   A = ( - 1 ) n

Assim, vemos que d e t   A = - 1 somente quando n for ímpar. Então, a afirmação é falsa.

Passo 3

(c)Usando mais uma vez as propriedades d e t   ( A B ) = d e t ( A )   d e t ( B ) e d e t   ( A t ) = d e t   A , junto com d e t   ( A - 1 ) = 1 / d e t ( A ) , podemos calcular o determinante de B = A A t A - 1 :

d e t ( B ) = d e t ( A A t A - 1 ) = d e t ( A ) d e t ( A t ) d e t ( A - 1 ) = [ d e t ( A ) ] 2 d e t ( A ) = d e t   ( A )

Ótimo! A afirmação é verdadeira.

Passo 4

(d) A afirmação d e t   ( A + B ) = d e t   ( A ) + d e t ( B ) é falsa e, para mostrar isso, vamos usar um contra-exemplo, que é um caso específico mostrando que a relação não é válida. Vamos usar as matrizes

A =   ⎜   1                 1   ⎜

                    ⎜   0                 1   ⎜

B = ⎜   0                 1   ⎜

                    ⎜   1                 0   ⎜

Assim, d e t   A = 1 e d e t   B = - 1 . Então,

A + B = ⎜   1                 2   ⎜

                                        ⎜   1                 1   ⎜

e d e t   ( A + B ) = - 1 ≠ d e t   A + d e t   B = 0 .

Resposta

(a)Verdadeira

(b)Falsa

(c)Falsa

(d)Falsa

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