Enunciado

Uma reta L pela origem em R 3 pode ser representada por equações paramétricas da forma x = a t , y = b t   e   z = c t . Use essas equações para mostrar que L é um subespaço de R 3 , mostrando que se v 1 = x 1 , y 1 , z 1   e   v 2 = x 2 , y 2 , z 2 forem pontos em L e k for um número real qualquer, então k v 1 e v 1 + v 2 também são pontos em L .

Passo 1

Temos que L é uma reta que passa pela origem e pode ser dada por

x = a t ,     y = b t   ,     z = c t

Sendo assim, se nossos vetores v 1 ,   v 2 ∈ L então eles podem ser representados como

v 1 = a t 1 , b t 1 , c t 1 ,   v 2 = a t 2 , b t 2 , c t 2

Então, verificando a condição de v 1 + v 2 ∈ L teremos

v 1 + v 2 = x 1 , y 1 , z 1 + x 2 , y 2 , z 2

v 1 + v 2 = a t 1 , b t 1 , c t 1 + a t 2 , b t 2 , c t 2 = a ⋅ t 1 + t 2 , b ⋅ t 1 + t 2 ,   c ⋅ t 1 + t 2

Logo, temos que v 1 + v 2 pertencem a L pois podem ser escritos nos mesmos moldes dos vetores descritos no enunciado.

Passo 2

Agora, sendo k um escalar qualquer vamos verificar a segunda condição para ver se ela é satisfeita. Então, temos

k v 1 = k ⋅ x 1 , y 1 , z 1 = k a t 1 , k b t 1 , k c t 1

E esse vetor também pertence a L . Com isso, podemos concluir que L é fechado para adição e para multiplicação por escalar o que implicar ser subespaço de R 3 .

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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