Enunciado

A reta t : y = 2 tangencia uma parábola de foco F = ( 1,1 ) e eixo s : y = x . Obtenha uma equação da diretriz, o parâmetro, o vértice e o ponto de tangência.

Passo 1

Duas informações muito importantes têm que ser lembradas aqui, que a reta diretriz é perpendicular ao eixo da parábola e que com certeza a reta y = 2 tangencia a parábola em y = 2 hahaha.

A equação da diretriz será uma reta paralela a y = - x portanto será algo na cara de:

d i r e t r i z :   y = - x + c

E a reta da diretriz se encontra com y = x em:

2 x = c → x = y = c 2

Portanto esse ponto de encontro da diretriz com o eixo da parábola estão em

c 2 , c 2

Passo 2

A distância entre o foco e a diretriz equivale a duas vezes o parâmetro e que terá equação de:

1 - c 2 2 + 1 - c 2 2 = 2 p

1 - c 2 2 = 2 p

E a distância entre o vértice ( a , a ) (que também está no eixo y = x ) e o foco será o parâmetro:

1 - a 2 + 1 - a 2 = p

1 - a 2 = p

Assim como a distância entre o vértice e a diretriz será igual ao parâmetro:

a - c 2 2 = p ( 1 )

Da primeira com a segunda equação nós temos que:

1 - c 2 2 = 2 1 - a 2

1 - c 2 = 2 - 2 a → 2 a - c 2 = 1

Portanto:

a = 1 2 + c 4

Passo 3

Como temos um ponto de tangência em T = ( h , 2 ) e a distância desse ponto ao foco é igual a distância de T a reta da diretriz ou seja:

h - 1 2 + 2 - 1 2 = - 2 - h + c 2

Pois a distância de um ponto P = ( x 0 , y 0 ) para uma reta a x + b x = c = 0 é d = | a x 0 + b x 0 + c | a 2 + b 2

E se fizermos h ser zero nós encontraremos:

2 = - 2 + c 2 → c = 4

Portanto a equação da diretriz será:

d i r e t r i z :   y = - x + 4

O vértice estará em a , a = 3 2 , 3 2

E o parâmetro p será:

1 - 3 2 2 = p = 2 2

Poderíamos arbitrar qualquer valor de h , que uma família de soluções viria. Para isso tudo deve estar bem amarrado uma com a outra. Nós somente não podemos utilizar equações como y 2 = 4 p x para dizer nada, pois a parábola está com o vértice fora da origem e focos fora dos eixos coordenados.

Resposta

Para ponto tangente igual a ( 0,2 )

D i r e t r i z : y = - x + 4

Vértice:

3 2 , 3 2

Parâmetro p:

p = 2 2

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