Enunciado

Em cada um dos Problemas de 27 a 36, determinar a equação reduzida, o vértice, o foco, uma equação da diretriz e uma equação do eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.

29. y 2 + 4 y + 16 x - 44 = 0

Passo 1

A primeira coisa que precisamos fazer é reparar se é o x ou o y que está elevado ao quadrado. Como aqui é o y que está elevado ao quadrado, então sabemos que o eixo é paralelo ao eixo x . E a equação reduzida vai ter a cara:

y ' 2 = 2 p x '

Sendo:

x ' = x - h

y ' = y - k

Onde h , k são as coordenadas do Vértice.

Passo 2

Vamos começar a resolver, então... Vamos deixar tudo que tem y de um lado só e o resto do outro lado.

y 2 + 4 y = - 16 x + 44

E precisamos completar o quadrado.

SUPER DICA: Vamos pegar o número que vem antes do y e dividir por 2:

4 2 = 2

E daí fazemos:

y + 2 2 = y 2 + 4 y + 4

Repare que “ y 2 + 4 y " já tem lá... Então vamos somar 4, maaas precisamos somar dos dois lados pra não alterar a equação, ne... E ficamos com:

y 2 + 4 y + 4 = - 16 x + 44 + 4

Podemos reescrever como:

y + 2 2 = - 16 x + 48

y + 2 2 = - 16 x - 3

Passo 3

- A equação reduzida, então vai ser:

y ' 2 = - 16 x '

E já conseguimos achar as coordenadas do vértice:

h = 3

k = - 2

- O vértice fica:

V 3 , - 2

Vamos já achar o p ...

2 p = - 16

p = - 8

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico, pois já temos o vértice e sabemos que o p é negativo (então a parábola vai ter concavidade pra esquerda). Isso vai facilitar muito achar as outras coisas, você vai ver...

Reparei que como temos p , então p / 2 à direita do vértice vai ser a diretriz (reta vermelha) e p / 2 à esquerda do vértice vai ser o foco (o foco fica sempre “dentro” da parábola, ne...). Então:

- O foco:

F - 1 , - 2

- A equação da diretriz:

x = 7

- A equação do eixo da parábola (eixo de simetria, que divide a parábola em duas partes iguais):

y = - 2

Resposta

y ' 2 = - 16 x '

V 3 , - 2

F - 1 , - 2

x = 7

y = - 2

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Nos Exercícios de 33 a 40, ache uma equação da parábola com as propriedades dadas. Faça um esboço do gráfico.39. Vértice em - 4 ,2 ; eixo y = 2 ; passa pelo ponto 0 ,6 .
Nos Exercícios de 33 a 40, ache uma equação da parábola com as propriedades dadas. Faça um esboço do gráfico.40. Os extremos do latus rectum são ( 1 ,3 ) e ( 7 ,3 ) .
Nos Exercícios de 33 a 40, ache uma equação da parábola com as propriedades dadas. Faça um esboço do gráfico.37. Vértice em ( 3 ,- 2 ) ; eixo x = 3 ; comprimento do latus rectum é 6.
50. Se uma parábola tiver seu foco na origem e o eixo x como eixo, prove que ela deve ter uma equação da forma y 2 = 4 k x + 4 k 2 ,k ≠ 0 .
52. Mostre que após uma translação de eixos para a nova origem - 1 4 π ,1 a equação y = 1 2 s e nx + cos ⁡ x + 1 torna – se y ' = s e nx '