Enunciado

Sabendo que as retas r 1 e r 2 são ortogonais, determinar o valor de m para os casos:

a) r 1 : x = 2 m t - 3 y = 1 + 3 t z = - 4 t e r 2 : x = 2 y - 1 z = - y + 4

b) r 1 : y = m x + 3 z = x - 1 e r 2 : reta por A 1,0 , m e B - 2,2 m , 2 m

Passo 1

E aí? Bora matar mais essa?

Vamos começar determinando os vetores das duas retas.

Para reta 1 , vamos isolar x em ambas as equações:

y = m x + 3 z = x - 1

m x = y - 3 x = z + 1

x = y - 3 m

Agora vamos escrever:

x = y - 3 m = z + 1 1

Agora vamos igualar a t , separar três equações, e isolar x , y , z :

x = 3 - y m = z + 1 1

= t

x = t y - 3 m = t z + 1 1 = t

y - 3 = m t z + 1 = t

y = m t - 3 z = t - 1

O vetor será formado pelos coeficientes de t , para reta 1 , temos:

1 , m , 1

Para reta 2 , vamos determinar o vetor A B :

A B = B - A = ( - 3 , - 2 m , m )

Molezinha, não?

Passo 2

Como as retas são ortogonais, podemos fazer que:

1 , m , 1 ∙ - 3 , - 2 m , m = 0

- 3 + 2 m 2 + m = 0

2 m 2 + m - 3 = 0

Lembra quando o pessoal dizia que nunca mais iria usar Bhaskara?

Então, não podiam estar mais errados.

2 m 2 + m - 3 = 0

m = - b ± Δ 2 a

Onde:

Δ = b 2 - 4 a c

Passo 3

Calculando:

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = 1 2 - 4 ∙ 2 ∙ - 3

Δ = 25

Retornando em:

m = - 1 ± 25 2 ∙ 2

m = - 1 ± 5 4

m 1 = - 1 + 5 4 ⇒ m 1 = 4 4 ⇒ m 1 = 1

m 2 = - 1 - 5 4 ⇒ m 2 = - 6 4 ⇒ m 2 = - 3 2

Mandamos bem!!!

Bora para outra?

Resposta

m 1 = 1 ou m 2 = - 3 2

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Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e é, simultaneamente, ortogonal às retas r 1 e r 2 , nos casos: a) A 3,2 , - 1 r 1 : x = 3 y = - 1 e r 2 : y = x - 3 z = - 2 x + 3 b) A 0,0 , 0
17. Na reta r : y = 2 x + 3 z = x - 1 , determinar o ponto de:b) Abscissa igual ao dobro da cota;
18. Representar graficamente as retas de equações:g) x = 3 y = - 4
19. Determinar as equações paramétricas e representar graficamente a reta que passa por:a) A 3 ,- 2 ,4 e é paralela ao eixo x ;