Enunciado

a Determine as equações simétricas da reta de intersecção dos planos e ( b ) determine o ângulo entre os planos.

x + y + z = 1 ,                 x + 2 y + 2 z = 1

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que para determinar a equação da reta precisamos de um vetor direto e um ponto? Pois bem, vamos começar determinando um ponto que pertença aos dois planos ao mesmo tempo.

Vou fixar um valor de z . Por simplicidade em z = 0 . Assim temos um sistema:

x + y = 1 x + 2 y = 1

Subtraindo as duas equações temos:

y = 0

Assim temos que o valor de x é x = 1 . Então o primeiro ponto é P 1 = ( 1,0 , 0 ) que satisfaz os dois planos simultaneamente.

Passo 2

Agora o vetor diretor dessa reta é aquele que é simultaneamente ortogonal aos vetores dos planos. Podemos determinar ele pelo produto vetorial.

Vou começar por denominar os planos e seus respectivos vetores diretores:

π 1 : x + y + z = 1 , e seu vetor: v → 1 =   ( 1 , 1,1 )

π 2 : x + 2 y + 2 z = 1 , e seu vetor: v → 2 =   ( 1 , 2,2 )

O produto vetorial entre eles é:

v → = v → 1 × v → 2 = i → j → k → 1 1 1 1 2 2 = i → 2 - 2 + j → 1 - 2 + k → 2 - 1 = ( 0 , - 1,1 )

Passo 3

Já que temos o vetor diretor v → = 0 , - 1,1 = ( a , b , c ) e escolhendo o ponto P 1 = x 0 , y 0 , z 0 = ( 1,0 , 0 ) , e lembrando que a equação da reta é;

x = x 0 + a t y = y 0 + b t z = z 0 + c t

Assim a equação dessa reta é :

x = 1 y = - t z = t

E na forma simétrica temos:

x - 1 = - y = z

Agora vamos determinar o ângulo entre os planos? Bora lá!

Passo 4

O ângulo entre dois planos é dado pela seguinte fórmula:

cos ⁡ θ = v → 1   ⋅ v → 2 | v → 1 | | | v → 2 | |

Onde v → 1   ⋅ v → 2 é o módulo do produto escalar entre os vetores normais aos planos e | v → 1 |   e   | | v → 2 | | são as respectivas normas dos vetores.

Mas calma! Vamos calcular cada coisa de cada vez!

Vamos começar?

Do passo 3 temos os planos e seus respectivos vetores diretores:

π 1 : x + y + z = 1 , e seu vetor: v → 1 =   ( 1 , 1,1 )

π 2 : , x + 2 y + 2 z = 1 , e seu vetor: v → 2 =   ( 1 , 2,2 )

Agora vou determinar a norma de cada vetor. Lembrando que norma de um vetor u → de coordenadas ( a , b , c ) é

| | u → | | = a 2 + b 2 + c 2

Então as normas vão ser:

  • v → 1 :
  • v 1 → = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3

  • v → 2 :

v 2 → = 1 2 + 2 2 + 2 2 = 9 = 3

Passo 5

Agora vou determinar o produto escalar entre v → 1 e v → 2 :

v → 1   ⋅ v → 2 = 1,1 , 1 ⋅ 1,2 , 2 = 1.1 + 1.2 + 1.2 = 5

Passo 6

Agora que sabemos de todos os valores, é só substituir lá na expressão do passo 1 para o cosseno entre dois vetores:

cos ⁡ θ = v → 1   ⋅ v → 2 | v → 1 | | | v → 2 | |

cos ⁡ θ = 5 3 3

E o ângulo entre os planos vai ser:

θ = cos - 1 ⁡ 5 3 3 = 15,79 °

Feito! O ângulo é 15,79 ° .

Resposta

( a )

x - 1 = - y = z

( b ) 15,79 °

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