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a Determine as equações simétricas da reta de intersecção dos planos e ( b ) determine o ângulo entre os planos.

3 x - 2 y + z = 1 ,                 2 x + y - 3 z = 3

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que para determinar a equação da reta precisamos de um vetor direto e um ponto? Pois bem, vamos começar determinando um ponto que pertença aos dois planos ao mesmo tempo.

Vou fixar um valor de z . Por simplicidade em z = 0 . Assim temos um sistema:

3 x - 2 y = 1 2 x + y = 3

Multiplicando a segunda equação por 2 e somando as duas equações temos:

3 x - 2 y = 1 4 x + 2 y = 6  

7 x = 7 ∴ x = 1

Assim, substituindo em qualquer uma das equações temos que o valor de y . Vou pegar a primeira:

3 x - 2 y = 1

3 - 2 y = 1

3 - 1 = 2 y

y = 1

Assim temos x = 1 , y = 1 e z = 0 . Então o primeiro ponto é P 1 = ( 1,1 , 0 ) que satisfaz os dois planos simultaneamente.

Passo 2

Agora o vetor diretor dessa reta é aquele que é simultaneamente ortogonal aos vetores dos planos. Podemos determinar ele pelo produto vetorial.

Vou começar por denominar os planos e seus respectivos vetores diretores:

π 1 : 3 x - 2 y + z = 1 , e seu vetor: v → 1 =   ( 3 , - 2,1 )

π 2 : 2 x + y - 3 z = 3 , e seu vetor: v → 2 =   ( 2 , 1 , - 3 )

O produto vetorial entre eles é:

v → = v → 1 × v → 2 = i → j → k → 3 - 2 1 2 1 - 3 = i → 6 - 1 + j → 2 + 9 + k → 3 + 4 = ( 5,11,7 )

Passo 3

Já que temos o vetor diretor v → = 5 , 11,7 = ( a , b , c ) e escolhendo o ponto P 1 = x 0 , y 0 , z 0 = ( 1,1 , 0 ) , e lembrando que a equação da reta é;

x = x 0 + a t y = y 0 + b t z = z 0 + c t

Assim a equação dessa reta é :

x = 1 + 5 t y = 1 + 11 t z = + 7 t

Agora vamos determinar o ângulo entre os planos? Bora lá!

Passo 4

O ângulo entre dois planos é dado pela seguinte fórmula:

cos ⁡ θ = v → 1   ⋅ v → 2 | v → 1 | | | v → 2 | |

Onde v → 1   ⋅ v → 2 é o módulo do produto escalar entre os vetores normais aos planos e | v → 1 |   e   | | v → 2 | | são as respectivas normas dos vetores.

Mas calma! Vamos calcular cada coisa de cada vez!

Vamos começar?

Do passo 3 temos os planos e seus respectivos vetores diretores:

π 1 : 3 x - 2 y + z = 1 , e seu vetor: v → 1 =   ( 3 , - 2,1 )

π 2 : 2 x + y - 3 z = 3 , e seu vetor: v → 2 =   ( 2 , 1 , - 3 )

Agora vou determinar a norma de cada vetor. Lembrando que norma de um vetor u → de coordenadas ( a , b , c ) é

| | u → | | = a 2 + b 2 + c 2

Então as normas vão ser:

  • v → 1 :
  • v 1 → = 3 2 + ( - 2 ) 2 + 1 2 = 14

  • v → 2 :

v 2 → = 2 2 + 1 2 + ( - 3 ) 2 = 14

Passo 5

Agora vou determinar o produto escalar entre v → 1 e v → 2 :

v → 1   ⋅ v → 2 = 3 , - 2 , 1 ⋅ 2,1 , - 3 = 3.2 - 2.1 - 1.3 = 6 - 2 - 3 = 1

Passo 6

Agora que sabemos de todos os valores, é só substituir lá na expressão do passo 1 para o cosseno entre dois vetores:

cos ⁡ θ = v → 1   ⋅ v → 2 | v → 1 | | | v → 2 | |

cos ⁡ θ = 1 14 14

E o ângulo entre os planos vai ser:

θ = cos - 1 ⁡ 1 14 = 85,90 °

Feito! O ângulo é 85,90 ° .

Resposta

( a )

x = 1 + 5 t y = 1 + 11 t z = + 7 t

( b ) 85,90 °

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Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles. 2 x - 3 y + 4 z = 5 , x + 6 y + 4 z = 3
Escreva o enunciado aqui.
Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = 5 , y = 4 - t , z = 2 t ; 2 x - y + z = 5 .
Determine o ponto no qual a reta intercepta o plano dado. x = y - 1 = 2 z ; 4 x - y + 3 z = 8 .
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles. x + y + z = 1 , x - y + z = 1
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles. 2 z = 4 y - x , 3 x - 12 y + 6 z = 0
a Determine as equações simétricas da reta de intersecção dos planos e ( b ) determine o ângulo entre os planos. x + y + z = 1 ,                 x + 2 y + 2 z = 1
Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto 1,2 , - 1 e que seja perpendicular às direções dos vetores u → = 1,1 , 1 e v → = 1 , - 2,1 .
Escreva o enunciado aqui.
Sejam dados u → = u 1 , u 2 , u 3 e v → = v 1 , v 2 , v 3 com u → ⋀ v → ≠ 0 . Verifique que x , y , z = x 0 , y 0 , z 0 + s u → + t v →   s , t ∈ R é a equação vetorial do plano qu...
Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. No caso de nenhum dos dois, calcule o ângulo entre eles. x + 4 y - 3 z = 1 , - 3 x + 6 y + 7 z = 0
Escreva o enunciado aqui.