Enunciado

Seja AA′ uma diagonal de um cubo e sejam B, C e D os vértices desse cubo que estão mais próximos de A. Mostre que AA′ é perpendicular a BC e BD e conclua que AA′ é perpendicular ao plano BCD. Mostre ainda que se AA′ corta o plano BCD no ponto P então d A ,   P = 1 3 d ( A ,   A '   ) .

Passo 1

Da condição de perpendicularismo, para dois segmentos serem perpendiculares eles devem apresentar um ângulo de 90 graus entre eles, isto é,

d A , A ' 2 = d B , C 2 + d B , D 2

d A , A ' 2 = d B , C 2 + d A , B 2 + d A , D 2

Em um cubo todas as arestas, isto é, d , são iguais. Além disso, a diagonal de um cubo vale a aresta multiplicado por raiz de 3.

d 3 2 = d 2 + d 2 + d 2

3 d = 3 d ,   c . q . d .  

Dessa forma AA’ é perpendicular ao plano BCD

Passo 2

Tomando um ponto P no plano BCD, temos que se AA” é perpendicular ao plano, então é perpendicular a intersecção com o plano, assim:

( 3 d A , P ) 2 = d A , B 2 + d A , C 2 + d A , D 2

( 3 d A , P ) 2 = d 2 + d 2 + d 2

d A , P = d 3 3

d A , P = 1 3 d ( A , A ' )

Resposta

Demonstração.

Exercícios de Livros Relacionados

Na Figura 1.35 estão representados os vetores coplanares u → , v → e w → . Indicar, na própria figura, os vetores a v → e b w → tal que u → = a v → + b w →
Na Figura 1.35 estão representados os vetores coplanares u → , v → e w → . Indicar, na própria figura, os vetoresb) α u → e β w → tal que v → = α u → + β w →
No mesmo sistema cartesiano x O y , representar:os vetores u → = 2 , - 1 e v → = - 2,3 , com origem nos pontos A 1,4 e B 1 , - 4 , respectivamente;
Dados os pontos A (3 , - 4) e B (- 1,1) e o vetor vec v = (- 2,3) , calcular3 vec v - 2 (A - B)
Sejam os pontos A (- 5,1) e B (1,3) . Determinar o vetor vec v tal queA = B + 3 vec v