Enunciado

Seja a matriz de ordem n + 1 (Vandermonde)

A = 1 a 0 a 0 2 … a 0 n - 1 a 0 n 1 a 1 a 1 2 … a 1 n - 1 a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 1 a n a n 2 … a n n - 1 a n n

  1. Provar que det ⁡ A = ∏ 0 ≤ i < j ≤ n a j - a i , onde o símbolo ∏ 0 ≤ i < j ≤ n a j - a i significa que devemos multiplicar todos os números a j - a i com os índices i e j satisfazendo a condição 0 ≤ i < j ≤ n . Por exemplo o determinante de
  2. 1 a 0 a 0 2 1 a 1 a 1 2 1 a 2 a 2 2 = a 2 - a 1 a 2 - a 0 a 1 - a 0

  3. Provar que se a i ≠ a j para i ≠ j então A é inversível.

Passo 1

Bom, esta é uma questão curiosa. Até poderíamos começar esta questão pela letra b), já que a relação que a gente precisa para resolver é a fórmula do determinante da matriz A .

E como a letra a) já nos fornece essa fórmula (pedindo para que nós a provemos), poderíamos utiliza-la.

Mas... vamos fazer na ordem da questão mesmo!! Então, vamos começar provando a fórmula para o determinante da matriz A . Para isto, vamos trabalhar bastante com cofatores e operações de linhas e colunas da matriz.

Passo 2

Certo, como já foi dito no Passo 1, vamos utilizar cofatores para calcular o determinante da matriz A . Para isto, vamos fixar a i = 1 e variar em relação as colunas j . Portanto, temos a seguinte relação:

det ⁡ A = ∑ j = 1 n + 1 a 1 j A 1 j = a 11 A 11 + a 12 A 12 + … + a 1 n A 1 n

Certo, mas como que esta formulação nos ajudou? Como todos os termos a 1 j são diferentes de zero, nós só aumentamos imensamente o nosso cálculo!!!

Será se realmente é isto o que deveríamos fazer?

Bom, lembram no Passo 1 que foi dito que precisaríamos da formulação de cofatores e trabalhar com operações de linhas e colunas para a nossa matriz? Já fizemos a primeira parte do que dissemos, falta a segunda, não é?

Então, agora que começamos as operações com matrizes. Primeiramente, vamos pegar todas as linhas e subtrair da primeira. Por exemplo, vamos fazer L 2 → L 2 - L 1 e L 7 → L 7 - L 1 . Com isto, vamos obter:

1 a 0 a 0 2 … a 0 n - 1 a 0 n 0 a 1 - a 0 a 1 2 … a 1 n - 1 a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 a n - a 0 a n 2 … a n n - 1 a n n

Agora, vamos zerar os primeiros elementos da linha i = 1 , com exceção apenas do elemento a 11 . Para isto, a gente tem que fazer o processo de trás para frente.

Mas como assim de trás para frente? Então. Vamos começar zerando o nosso último elemento, o a 1 ( n + 1 ) .

Para isto, vamos pegar a coluna n , cujo elemento a 1 , n = a 0 n - 1 , e multiplicar toda esta coluna por - a 0 e assim somaremos com a coluna n + 1 . Então, o que faremos é C n + 1 → C n + 1 - a 0 C n . Se fizermos isto, teremos:

1 a 0 a 0 2 … a 0 n - 1 a 0 n - a 0 n 0 a 1 - a 0 a 1 2 - a 0 2 … a 1 n - 1 - a 0 n - 1 a 1 n - a 0 n - a 1 n - 1 a 0 - a 0 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 a n - a 0 a n 2 - a 0 2 … a n n - 1 - a 0 n - 1 a n n - a 0 n - a n n - 1 a 0 - a 0 n

E portanto,

1 a 0 a 0 2 … a 0 n - 1 0 0 a 1 - a 0 a 1 2 - a 0 2 … a 1 n - 1 - a 0 n - 1 a 1 n - 1 a 1 - a 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 a n - a 0 a n 2 - a 0 2 … a n n - 1 - a 0 n - 1 a n n - 1 a n - a 0

E assim podemos continuar fazendo para o a coluna n . Para isto, basta fazer C n → C n - a 0 C n - 1 . Fazemos este procedimento até a coluna 2, com C 2 → C 2 - a 0 C 1 . Com isto, vamos obter:

1 0 0 … 0 0 0 a 1 - a 0 a 1 a 1 - a 0 … a 1 n - 2 a 1 - a 0 a 1 n - 1 a 1 - a 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 a n - a 0 a n a n - a 0 … a n n - 2 a n - a 0 a n n - 1 a n - a 0

É importante ressaltar que ambos os passos são essenciais para conseguirmos visualizar o padrão de repetição do nosso problema.

Passo 3

Bom, continuando, ao fazermos todos os procedimentos do Passo 2, todos os elementos a 12 , a 13 até a 1 n são iguais a 0. Portanto, a nossa fórmula para o determinante será apenas:

det ⁡ A = a 11 A 11 = - 1 1 + 1 ⋅ 1 ⋅ det ⁡ a 1 - a 0 a 1 a 1 - a 0 a 1 2 a 1 - a 0 … a 1 n - 2 a 1 - a 0 a 1 n - 1 a 1 - a 0 a 2 - a 0 a 2 a 2 - a 0 a 2 2 a 2 - a 0 … a 2 n - 2 a 2 - a 0 a 2 n - 1 a 2 - a 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a n - a 0 a n a n - a 0 a n 2 a n - a 0 … a n n - 2 a n - a 0 a n n - 1 a n - a 0

Agora, temos que calcular o determinante de uma matriz de ordem n (percebam que já diminuímos em 1 a ordem da nossa matriz. A ideia é fazer o mesmo processo que fizemos no Passo 1 só que para a matriz:

a 1 - a 0 a 1 a 1 - a 0 a 1 2 a 1 - a 0 … a 1 n - 2 a 1 - a 0 a 1 n - 1 a 1 - a 0 a 2 - a 0 a 2 a 2 - a 0 a 2 2 a 2 - a 0 … a 2 n - 2 a 2 - a 0 a 2 n - 1 a 2 - a 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a n - a 0 a n a n - a 0 a n 2 a n - a 0 … a n n - 2 a n - a 0 a n n - 1 a n - a 0

Só que para isto, nós precisamos realizar algumas operações antes, colocando a nossa nova matriz no “formato original” da matriz de Vandermonde. Isto é, aquela matriz com uma coluna com número 1.

E como faremos isto? Bom, o primeiro passo será colocar o termo a 1 - a 0 da primeira linha em evidência. Com isto, teremos:

a 1 - a 0 1 a 1 a 1 2 … a 1 n - 2 a 1 n - 1 a 2 - a 0 a 2 a 2 - a 0 a 2 2 a 2 - a 0 … a 2 n - 2 a 2 - a 0 a 2 n - 1 a 2 - a 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a n - a 0 a n a n - a 0 a n 2 a n - a 0 … a n n - 2 a n - a 0 a n n - 1 a n - a 0

Lembrando que o escalar a 1 - a 0 sai multiplicando toda a matriz. E se fizermos com o termo a 2 - a 0 da segunda linha? E com o a 3 - a 0 da terceira linha? E com o termo a n - a 0 da linha n ? Colocando todos os termos em evidência, teremos:

a 1 - a 0 a 2 - a 0 … a n - a 0 1 a 1 a 1 2 … a 1 n - 2 a 1 n - 1 1 a 2 a 2 2 … a 2 n - 2 a 2 n - 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 1 a n a n 2 … a n n - 2 a n n - 1

E portanto, como det ⁡ λ X = λ det ⁡ X , podemos reescrever a nossa fórmula do determinante da seguinte forma:

det ⁡ A = a 1 - a 0 a 2 - a 0 … a n - a 0 ⋅ det ⁡ 1 a 1 a 1 2 … a 1 n - 2 a 1 n - 1 1 a 2 a 2 2 … a 2 n - 2 a 2 n - 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 1 a n a n 2 … a n n - 2 a n n - 1

Passo 4

E agora? Para termos certeza do padrão, vamos repetir brevemente todos os procedimentos que fizemos lá no Passo 2 para reorganizar a nossa matriz.

Começando pelas operações de linhas, temos:

1 a 1 a 1 2 … a 1 n - 2 a 1 n - 1 0 a 2 - a 1 a 2 2 - a 1 2 … a 2 n - 2 - a 1 n - 2 a 2 n - 1 - a 1 n - 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 a n - a 1 a n 2 - a 1 2 … a n n - 2 - a 1 n - 2 a n n - 1 - a 1 n - 1

Agora, fazendo as operações entre colunas, teremos:

1 0 0 … 0 0 0 a 2 - a 1 a 2 a 2 - a 1 … a 2 n - 3 a 2 - a 1 a 2 n - 2 a 2 - a 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 a n - a 1 a n a n - a 1 … a n n - 3 a n - a 1 a n n - 2 a n - a 1

Então, o determinante desta matriz, aplicando a técnica de cofatores (novamente), será:

det ⁡ 1 0 0 … 0 0 0 a 2 - a 1 a 2 a 2 - a 1 … a 2 n - 3 a 2 - a 1 a 2 n - 2 a 2 - a 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 a n - a 1 a n a n - a 1 … a n n - 3 a n - a 1 a n n - 2 a n - a 1 = det ⁡ a 2 - a 1 a 2 a 2 - a 1 … a 2 n - 3 a 2 - a 1 a 2 n - 2 a 2 - a 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ a n - a 1 a n a n - a 1 … a n n - 3 a n - a 1 a n n - 2 a n - a 1

Colocando os termos a 2 - a 1 em evidência na primeira linha, a 3 - a 1 na segunda linha, até o termo a n - a 1 na linha n - 1 , obteremos:

a 2 - a 1 a 3 - a 1 … a n - a 1 det ⁡ 1 a 2 … a 2 n - 3 a 2 n - 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 1 a n … a n n - 3 a n n - 2

E portanto, o determinante da nossa matriz A será:

det ⁡ A = a 1 - a 0 … a n - a 0 ⋅ a 2 - a 1 … a n - a 1 ⋅ det ⁡ 1 a 2 … a 2 n - 3 a 2 n - 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 1 a n … a n n - 3 a n n - 2

Podemos continuar fazendo este procedimento, mas o padrão já está claro. Iremos reduzir a matriz até a ordem 2 para obter o último termo a n - a n - 1 . Com isto, podemos induzir que a fórmula do determinante é:

det ⁡ A = a 1 - a 0 … a n - a 0 ⋅ a 2 - a 1 … a n - a 1 ⋅ … a n - a n - 1 = ∏ 0 ≤ i < j ≤ n a j - a i

E assim, conseguimos chegar ao resultado da letra a).

Passo 5

Para finalizarmos a questão, temos que provar que, se a i ≠ a j , para i ≠ j , então A é inversível.

Bom, para que uma matriz seja inversível, seu determinante deve ser diferente de 0. Portanto,

det ⁡ A ≠ 0

Depois, percebam que todos os termos do determinante da matriz A são do tipo a j - a 1 , sendo i ≠ j . Nunca teremos algo do tipo a i - a i , o que iria zerar o nosso determinante.

Para finalizarmos, a nossa análise, para que o determinante seja diferente de zero, obrigatoriamente, não pode existir a j - a i = 0 , o que implica em a j ≠ a i .

Assim, acabamos de provar que, para que o determinante de A seja diferente de zero (o que possibilita que ele seja inversível), temos que garantir que a i ≠ a j para i ��� j .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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