Enunciado

Seja A uma matriz m × n com vetores coluna linearmente independentes. Obtenha a matriz canônica da projeção ortogonal de R n no espaço coluna de A . [Sugestão: comece com a Fórmula 10 .]

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Consideremos que:

A = 1 0 0       0 0 1

A coluna espaço de A é o plano x z em R 3 . De acordo com o exemplo 3 , a projeção padrão da matriz na coluna espaço de A é dada por:

P = A A T A - 1 A T

Temos que:

A T A = 1 0       0 0       0 1 1 0 0       0 0 1

A T A = 1 0       0 1 = I

Temos também que:

A A T = 1 0 0       0 0 1 1 0       0 0       0 1

A A T = 1 0 0       0 0 0       0 0 1

Que é a mesma projeção da matriz no plano x z mencionada na tabela 4 da seção 4.9 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Mostre que se w =( a ,b ,c ) for um vetor não nulo, então a matriz canônica da projeção ortogonal de R 3 na reta g e r { w } é P = 1 a 2 + b 2 + c 2 a 2 a b a c a b b 2 b c a c b c c 2
Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 2 → R 2 No eixo y .[Observação: compare suas respostas com a Tabela 4 da Seção 4.9.]
Use a Fórmula (10) e o método do Exemplo 3 para encontrar matriz canônica da projeção ortogonal P : R 2 → R 2 No eixo x .[Observação: compare suas respostas com a Tabela 4 da Seção 4.9.]
Em cada parte, encontre det ⁡ A T A e aplique o Teorema 6.4 . 3 para determinar se A tem vetores coluna linearmente independentes. A = - 1 3 2 2 1 3 0 1 1
8. Em cada parte, encontre a projeção ortogonal de u → no subespaço de R 3 gerado pelos vetores v → 1 e v → 2 .(a) u → = 2,1 , 3 ;v → 1 = 1,1 , 0 ,v → 2 = 1,2 , 1 (b) u → = 1 , - 6,1 ;v → 1 = - 1,2 ,