Enunciado

Seja P a parábola de equação x 2 - 2 x y + y 2 - 6 + 2 x + 6 - 2 y + 9 + 2 = 0 . Obtenha uma equação da reta tangente a P no seu vértice.

Passo 1

Vamos reescrever a equação de P da seguinte maneira:

x 2 - 2 x y + y 2 - 6 + 2 x + 6 - 2 y + 9 + 2 = 0 ⟺

x 2 - 2 x y + y 2 - 6 x - y - 2 x + y + 9 + 2 = 0 ⟺

x - y 2 - 6 x - y - 2 x + y + 9 + 2 = 0 .

Façamos a mudança de variável:

u = x - y                       v = x + y

Dessa forma, a equação da parábola se transforma em

u 2 - 6 u - 2 v + 9 + 2 = 0 ⟹ u 2 - 6 u + 9 = 2 v - 1

u - 3 2 = 2 v - 1

Passo 2

Vimos que, no novo sistema de coordenadas, a equação da parábola se escreve como

u - 3 2 = 2 v - 1

Evidenciando que seu vértice se localiza em u , v = 3,1 .

Passo 3

Podemos encontrar a equação da reta tangente no sistema de coordenadas u , v e depois voltarmos para x ,   y .

Notemos que a reta tangente em u , v é a reta v = 1

Passo 4

Como v = x + y , temos que a reta no sistema de coordenadas x ,   y é:

x + y = 1 ⟹ x + y - 1 = 0 .

Resposta

A equação da reta tangente é x + y - 1 = 0 .

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A partir da Fórmula ( 15 ) , obtenha as matrizes canônicas das rotações em torno dos eixos z de R 3 .