Enunciado

Seja π 1 o plano que passa pelos pontos A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1), C = (1, 1, 0) e π 2 o plano que passa pelos pontos P = (0, 0, 1) e Q = (0, 0, 0) e é paralelo ao vetor i → + j → . Ache o ângulo entre π 1 e π 2 .

Passo 1

Dados os pontos pelos quais os planos passam, podemos encontrar vetores A B → , A C → e P Q → relacionados a esses planos:

A B → = 1 - 1 ,   0 - 1 ,   1 - 1 = ( 0 , - 1 ,   0 )

A C → = 1 - 1 ,   1 - 1 ,   0 - 1 = ( 0 ,   0 ,   - 1 )

P Q → = 0 - 0 ,   0 - 0 ,   0 - 1 = ( 0 ,   0 ,   - 1 )

Passo 2

Calculando o produto vetorial entre os vetores de cada plano:

N 1 → =   A B → × A C →

N 1 → = det i j k 0 - 1 0 0 0 - 1

Realizando a conta do determinante:

N 1 → = 1i + 0j + 0k – 0k -0j -0i

N 1 → = 1i + 0j + 0k

N 2 → =   P Q →   × V

N 2 → = det i j k 0 0 - 1 1 1 0

Realizando a conta do determinante:

N 2 → = 0i - 1j + 0k – 0k -0j + 1i

N 2 → = 1i - 1j + 0k

Passo 3

O ângulo entre os planos pode ser calculado pela fórmula:

cos ⁡ θ =   N 1 ∙ N 2 N 1 N 2

N 1 ∙ N 2 = 1 ∙ 1 + 0 ∙ - 1 + 0 ∙ 0 = 1

N 1 =   1 2 + 0 2 + 0 2 =   1

N 2 =   1 2 + ( - 1 ) 2 + 0 2 =   2

Aplicando os valores encontrados à fórmula:

cos ⁡ θ =   1 1 2

cos ⁡ θ =   1 2

arccos ⁡ 1 2 = 45 °

Resposta

O ângulo entre os planos é 45 ° , ou π 4 rad.

Exercícios de Livros Relacionados

São dados o ponto P = 0,1 , 0 , o plano π : 2 x + y + z - 4 = 0 e a reta s : X = 1 , - 1,1 + λ 2,3 , 1 . Obtenha equações da reta que contém P e é concorrente com s , de tal modo que a medida angular
Obtenha uma equação geral do plano π que contém a reta r : X = 0,4 , 0 + λ 1,4 , - 1 e forma ângulos congruentes com as retas s : X = 1,1 , 0 + λ 1,2 , - 6 e t : X = 3,1 , 1 + λ 3,4 , 4 .
O vértice de uma pirâmide regular é P = 2 , 2,0 e sua base é um quadrado A B C D contido no plano π : x - z = 0 . Sendo A = 0,2 , 0 , determine os outros três vértices.
Determinar o ângulo formado pela retar : {[[y = - 2 x],[z = 2 x + 1]]) E o plano pi : x - y + 5 = 0 .
Determinar o ângulo que a reta r : { x - 2 3 = y - 4 = z + 1 5 Forma com o olnao π : 2 x - y + 7 z - 1 = 0 .