Enunciado

Mostre a desigualdade triangular. (Veja 8.3.2 - iv) (Sugestão: v + w 2 =   < v + w , v + w > ); desenvolva e use a desigualdade de Schwarz – 8.3.2 – iii).

Passo 1

Vamos lá! Para começar, vamos seguir a sugestão. Veja que:

< v + w , v + w >   =   < v , v + w > + < w , v + w >   =   < v + w , v > + < v + w , w >  

=   < v , v > + < w , v > + < v , w > + < w , w >

=   < v , v > + 2 < v , w > + < w , w >

Mas < v , v >   = v 2 e < w , w >   = w 2 . Então,

v + w 2 = v 2 + w 2 + 2 < v , w >

Beleza?!

Passo 2

Agora vamos usar a desigualdade de Schwarz:

< v , w >   ≤ v w ⇒ 2 < v , w >   ≤ 2 v w

Ou seja:

v + w 2 - v 2 - w 2 ≤ 2 v w ⇒ v + w 2 ≤ v + w 2

Que resulta em:

v + w ≤ v + w

Que é a desigualdade triangular. Show de bola?!

Resposta

Demonstração.

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Encontre um produto interno euclidiano ponderado em R 2 no qual o círculo unitário seja a elipse mostrada na figura dada.
Sejam u , v o produto interno euclidiano em R 2 gerado por 2 11 1 e u = 2,1 , v = - 1,1 , w = 0 , - 1 . Calcule as expressões dadas. u , v v , w u + v , w v d v , w v - w 2
Use a Fórmula 4 para mostrar que u , v = 5 u 1 v 1 - u 1 v 2 - u 2 v 1 + 10 u 2 v 2 é o produto interno em R 2 gerado por A = 2 - 11 3 Use o produto interno da parte a para calcular u , v com u = 0 ,
Repita o E x e r c í c i o1 í com o produto interno euclidiano ponderado u , v = 2 u 1 v 1 + 3 u 2 v 2 .
Use os produtos internos do E x e r c í c i o18 í para encontrar d u , v com u = - 1,2 e v = 2,5 .