Enunciado

Seja o triângulo de vértices A ( - 1 ,   - 2 ,   4 ) , B ( - 4 ,   - 2 ,   0 ) e C ( 3 ,   - 2 ,   1 ) . Determine o ângulo interno ao vértice B .

Passo 1

Para acharmos o ângulo interno do vértice B , temos que criar dois vetores que partem dele e usar da equação

cos ⁡ θ = B A → ∙ B C → B A → B C →

Passo 2

Vamos achar os vetores B A → e B C → e calcular B A → ∙ B C →

B A → = - 1 + 4 , - 2 + 2 , 4 - 0 = 3 , 0 4 B C → = 3 + 4 , - 2 + 2 , 1 - 0 = 7 , 0 , 1

B A → ∙ B C → = 3 , 0 4 ∙ 7 , 0 , 1 = ( 3 × 7 ) + ( 0 × 0 ) + ( 4 × 1 )

B A → ∙ B C → = 21 + 0 + 4

B A → ∙ B C → = 25

Passo 3

Vamos agora calcular os módulos dos vetores B A → e B C → e encontrar B A → B C →

B A → = 3 2 + 0 2 + 4 2

B A → = 9 + 0 + 16

B A → = 25

B A → = 5

B C → = 7 2 + 0 2 + 1 2

B C → = 49 + 0 + 1

B C → = 50

B C → = 25 ∙ 2

B C → = 5 2

Então

  B A → B C → = 5 ∙ 5 2

B A → B C → = 25 2

Passo 4

Aplicando na equação cos ⁡ θ = B A → ∙ B C → B A → B C → , temos

cos ⁡ θ = 25 25 2

cos ⁡ θ = 1 2

cos ⁡ θ = 2 2       ∴         θ = 45 °

Resposta

θ = 45 °

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