Enunciado

Sejam A = 1,2 , 7 e B = ( 1,1 , 4 ) . Nos casos do exercício anterior, obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos paralelos a A B com uma extremidade em r e outra em s . Descreva o lugar geométrico.

(a) r : X = 1,2 , 2 + λ 0,1 , 1 e s : X = 0,0 , 0 + μ 1,0 , 1

Passo 1

(a) O primeiro passo aqui é entender quais são os segmentos que cruzam r e s ao mesmo tempo.

Bom, todos os pontos que estão em r obedecem essa relação aqui:

X = 1,2 , 2 + λ 0,1 , 1

E todos os que estão em s obedecem a essa aqui:

Y = 0,0 , 0 + μ 1,0 , 1

Então se um segmento X Y → liga dois desses pontos, a forma geral dele é:

X Y → = Y - X

X Y → = 0,0 , 0 + μ 1,0 , 1 - 1,2 , 2 - λ 0,1 , 1

X Y → = - 1 , - 2 - 2 + μ 1,0 , 1 - λ 0,1 , 1

Passo 2

Beleza, a fórmula ali de cima dá toda uma família de segmentos que cruzam r e s . O nosso objetivo é saber quais delas são paralelos a A B → :

A B → = B - A = 1,1 , 4 - 1,2 , 7

A B → = 0 , - 1 , - 3

A única forma de um segmento X Y → ser paralelo a A B → é:

α A B → = X Y →

Onde α é uma constante qualquer! Vamos substituir com as expressões:

α 0 , - 1 , - 3 = - 1 , - 2 , - 2 + μ 1,0 , 1 - λ 0,1 , 1

0 , - α , - 3 α = - 1 + μ , - 2 - λ , - 2 + μ - λ

E dá pra transformar isso em um sistema de três equações:

0 = - 1 + μ - α = - 2 - λ - 3 α = - 2 + μ - λ

Pela primeira equação:

μ = 1

Substituindo isso nas outras duas, o sistema fica assim:

- α = - 2 - λ - 3 α = - 2 + 1 - λ

- α = - 2 - λ - 3 α = - 1 - λ

Subtraindo a segunda da primeira:

- α - - 3 α = - 2 - λ - - 1 - λ

2 α = - 1

α = - 1 2

E então:

- - 1 2 = - 2 - λ

λ = - 2 + 1 2 = - 5 2

E a solução do sistema é:

α = - 1 / 2   μ = 1 λ = - 5 / 2

Passo 3

Então tá, vamos ver como fica o segmento X Y → com esses valores:

X Y → = - 1 , - 2 - 2 + μ 1,0 , 1 - λ 0,1 , 1

X Y → = - 1 , - 2 - 2 + 1 1,0 , 1 - - 5 2 0,1 , 1

X Y → = - 1 , - 2 - 2 + 1,0 , 1 - 0   , -   5 2 , - 5 2

Então o segmento é:

X Y → = 0 , - 2 , - 1 + 0   ,   5 2 , 5 2

X Y → = 0 , 1 2 , 3 2

Bom, então só existe um segmento que passa por r e s e que é paralelo a A B → .

O enunciado pediu o lugar geométrico formado pelo ponto médio desse segmento: nesse caso o lugar geométrico será um único ponto, já que só temos um único segmento.

Passo 4

Vamos tentar encontrar as coordenadas desse ponto.

Pelo que a gente definiu lá em cima, esse segmento parte de um ponto da reta r :

r : X = 1,2 , 2 + λ 0,1 , 1

Como λ = - 5 2 :

X = 1,2 , 2 + 0 , - 5 2 , - 5 2

X = 1 , - 1 2 , - 1 2

E se o segmento X Y → parte desse ponto, as coordenadas do ponto médio dele são:

P = X + 1 2 X Y →

Estamos divindindo por dois porque não queremos o comprimento inteiro do segmento, só a metade! Então:

P = 1 , - 1 2 , - 1 2 + 1 2 0 , 1 2 , 3 2

P = 1 , - 1 4 , 1 4

Pronto!

Resposta

(a) O lugar geométrico é um único ponto de coordenadas 1 , - 1 4 , 1 4 .

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