Enunciado

O custo de produção de uma mercadoria é $   12 a menos por unidade numa cidade A do que numa cidade B , sendo a distância entre A e B 100   k m supondo que o caminho de entrega da mercadoria seja uma linha reta e que o custo da entrega seja $   0.20 por unidade por quilômetro, ache a curva cujo ponto a mercadoria possa ser fornecida por A ou por B a um mesmo custo. (Sugestão: tome A e B em ( - 50,0 ) e ( 50 ,   0 ) respectivamente.)

Passo 1

Então galera, para encontrarmos a curva cujo ponto a mercadoria possa ser fornecida por A ou por B pelo mesmo preço, devemos encontrar funções que determinam o custo de A até um ponto P ( x , y ) e de B até esse mesmo ponto P ( x ,   y ) , não é mesmo? Ademais, a questão nos sugere escolhermos A e B em ( - 50,0 ) e ( 50 ,   0 ) respectivamente, então faremos isso! A quantia que representa o custo de entrega de uma unidade do ponto A até o ponto P ( x ,   y ) é:

1 5 x + 50 2 + y 2 - 12

E de B até o ponto P ( x ,   y ) é:

1 5 x - 50 2 + y 2

Aqui vale ressaltar que 1 5 é o custo de entrega por unidade, assim como o enunciado nos informa. Ademais, essa expressão surge de um simples teorema de Pitágoras mesmo, galera! O que difere A de B é a distância oposta que se encontram uma em relação a outra e que, segundo o enunciado, a rota A é $   12 mais barata.

Passo 2

Agora que encontramos as expressões que determinam o custo de A até P e de B até P , vamos iguala-las, uma vez que queremos uma função que faça com que as mercadorias possam ser fornecidas ao mesmo preço, independente da rota A ou B . Fazendo isso, teremos:

1 5 x + 50 2 + y 2 - 12 = 1 5 x - 50 2 + y 2

x + 50 2 + y 2 = x - 50 2 + y 2 + 60

Abrindo esse produto notável, teremos:

x 2 + 100 x + 2500 + y 2 = x 2 - 100 x + 2500 + y 2 + 60

x 2 + 100 x + 2500 + y 2 = x 2 - 100 x + 2500 + y 2 + 60 2

x 2 + 100 x + 2500 + y 2 = x 2 - 100 x + 2500 + y 2 + 120 x 2 - 100 x + 2500 + y 2

+ 3600

200 x - 3600 = 120 x 2 - 100 x + 2500 + y 2

Dividindo tudo por 40 , teremos:

5 x - 90 = 3 x 2 - 100 x + 2500 + y 2

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raíz, teremos:

25 x 2 - 900 x + 8100 = 9 x 2 - 900 x + 22500 + 9 y ²

∴ 16 x 2 - 9 y 2 = 14400

Que é a curva que procurávamos!

Resposta

16 x 2 - 9 y 2 = 14400

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.focos F ± 8,0 , excentricidade 4 3
Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.Vértices A 0 , ± 2 , distância focal 2 11
Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.Vértice em 3 , - 2 e 5 , - 2 e um foco em 7 , - 2
Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.Focos F 1 3 , - 2 e F 2 3,4 e excentricidade 2
Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.Vértices A ± 3,0 e equações das assíntotas y = ± 2 x