Enunciado

Sejam e a excentricidade da elipse E : x 2 / p + y 2 / q = 1 e F um de seus focos. Prove que, se P é um ponto qualquer de E , não pertencente ao eixo maior, e N é o ponto de interseção da reta normal à elipse em P com o eixo maior, então d F ,   N / d ( F ,   P ) = e .

Passo 1

Inicialmente, temos que

x 2 p + y 2 q = 1

é a equação de E (suponha p > q ). Vamos derivar implicitamente tal relação para que possamos obter o coeficiente angular, m , da reta tangente em um ponto genérico da elipse:

d d x x 2 p + y 2 q = d d x 1 ∴ 2 x p + 2 y q d y d x = 0 ∴ d y d x = - q p x y ⟹ m = - q p x y

Logo, o coeficiente angular da reta normal, m ' , será tal que:

m m ' = - 1 ∴ m ' = p q y x

Assim, o coeficiente angular da reta normal no ponto P = h ,   k será:

m ' = p q k h

A equação da reta será:

y - k = p k q h x - h ∴ y = p k q h x + k q - p q

é a equação da reta normal à elipse no ponto P . Para encontrarmos a intersecção com o eixo maior, basta fazer y = 0 . Logo,

0 = p k q h x + k q - p q ∴ p k q h x = p - q k q ⟹ x = p - q h p

Logo, temos que

N = p - q h p ,   0

Passo 2

Suponha que F = ( c ,   0 ) é um dos focos da elipse.

Como

h 2 p + k 2 q = 1 ∴ k 2 = q 1 - h 2 p = q - h 2 q p ⟹ k 2 = q - h 2 q p

e

c 2 = p - q

Segue que:

d F ,   N = x N - x F 2 + y N - y F 2 = p - q h p - c 2 + 0 - 0 2 = p - q h - p c p

d F , N = c 2 h - p c p = c c h - p p

Passo 3

Também, temos

d F , P = x P - x F 2 + y P - y F 2 = h - c 2 + k 2 ⟹

d F ,   P = h 2 - 2 h c + p - q + q - h 2 q p = h 2 - 2 h c + p - h 2 q p ⟹

d F , P = h 2 p - q p + p - 2 h c = h 2 c 2 p + p - 2 h c = h 2 c 2 + p 2 - 2 h p c p ⟹

d F , P = h 2 c 2 - 2 h c p + p 2 p = h c - p 2 p = c h - p p

Passo 4

Finalmente, temos que

d F , N d F , P = c c h - p / p c h - p / p = c p

Porém, note que c / p é exatamente igual ao valor da excentricidade da elipse. Logo,

d F , N d F , P = c p

Observação: você pode estar acostumado com e = c / a . Porém, lembre-se que e é escrito dessa maneira quando a elipse é escrita como x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1 com a > b . No nosso caso, a elipse foi escrita como sendo x 2 / p + y 2 / q = 1 com p > q . Assim, o p faz o papel do a 2 ou, equivalentemente, p faz o papel do a .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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