Enunciado

Sejam A e B matrizes n   x   n . Mostre que se B não é invertível, então A B também não o é.

Passo 1

Fala aeeeee, tudo tranquilo?

Sabe-se que o produto de duas matrizes invertíveis é invertível. Ou seja:

Se multiplicarmos A por B , imaginando ambas invertíveis, temos que:

A B A B - 1 = I n

Passo 2

Sabendo que a inversa do produto de duas matrizes é dada por:

A B - 1 = B - 1 A - 1

Iremos utilizar a associatividade do produto de matrizes, portanto:

A B B - 1 A - 1 = A B B - 1 A - 1 = A I n A - 1 = I n

Como no enunciado é dito que B não é invertível, o produto B B - 1 não é válido.

Logo, B não é invertível e então A B também não o é.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o .

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