Enunciado

Resolva a integral.

int (t e^(2 t) hat i + (t)/(1 - t) hat j + (1)/(sqrt(1 - t ²)) hat k) d t

Passo 1

Temos aqui a integral de uma função vetorial, desta forma precisamos calcular a integral de cada uma das coordendas hat i , hat j e hat k .

Passo 2

Integral da coordenada hat i :

int t e^(2 t) d t

Para resolver esta integral precisamos primeiro fazer uma substituição:

x = 2 t -> d x = 2 d t

int (x)/(2) e^x (d x)/(2) = (1)/(4) int x e^x d x

Agora precisamos fazer uma integração por partes:

u = x -> d u = d x

d v = e^x d x -> v = e^x

(1)/(4) (u v - int v d u) = (1)/(4) (x e^x - int e^x d x) = (1)/(4) e^x ( x - 1 )

Mas x = 2 t , então:

int t e^(2 t) d t = (1)/(4) e^(2 t) ( 2 t - 1 )

Integral da coordenada hat j :

int (t)/(1 - t) d t

Para resolver esta integral precisamos fazer a seguinte substituição:

u = 1 - t -> d u = - d t

- int (1 - u)/(u) d u = - int ((1)/(u) - 1) d u = - ln |u| + u

Mas u = 1 - t , então:

int (t)/(1 - t) d t = - ln |1 - t| + 1 - t

Integral da coordenada hat k :

int (1)/(sqrt(1 - t ²)) d t

Esta é uma integral trigonométrica, cujo o resultado é:

int (1)/(sqrt(1 - t ²)) d t = arcsin t

Passo 3

Desta forma o resultado final da integral da função vetorial é:

int (t e^(2 t) hat i + (t)/(1 - t) hat j + (1)/(sqrt(1 - t ²)) hat k) d t = ((1)/(4) e^(2 t) ( 2 t - 1 ) hat i + ( 1 - ln |1 - t| - t ) hat j + arcsin t hat k)

Resposta

int (t e^(2 t) hat i + (t)/(1 - t) hat j + (1)/(sqrt(1 - t ²)) hat k) d t = ((1)/(4) e^(2 t) ( 2 t - 1 ) hat i + ( 1 - ln |1 - t| - t ) hat j + arcsin t hat k)

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