Enunciado

O triângulo ABC é retângulo em B e está contido no plano π 1 : x + y + z = 1 . O cateto BC está contido no plano π 2 : x - 2 y - 2 z = 0 e o ângulo C ^ mede 30°. Dado A = 0,1 , 0 , determine B e C e calcule o comprimento da altura relativa à hipotenusa.

Passo 1

Iremos começar determinando a reta que contém o cateto B C . Como o cateto pertence a ambos os planos π 1 e π 2 , e os planos são transversais (vetores normais não são paralelos), podemos afirmar que o cateto pertence a reta r dada pela interseção dos dois planos.

Portanto, vamos começar determinando esta reta. Ela será:

r : x + y + z = 1 x - 2 y - 2 z = 0 ⟹ r : x + y + z = 1 3 x = 2 ⟹ r : y = 1 3 - z x = 2 3

Então,

r : X = x , y , z

r : X = 2 3 , 1 3 - z , z

r : X = 2 3 , 1 3 , 0 + 0 , - z , z

r : X = 2 3 , 1 3 , 0 + z 0 , - 1,1

r : X = 2 3 , 1 3 , 0 + λ 0 , - 1,1

E está é a equação da reta que contém os pontos B e C .

Passo 2

Agora que temos a reta r e sabemos que o triângulo é retângulo em B , podemos descobrir suas coordenadas.

Para isto, basta fazermos a projeção ortogonal do ponto A na reta r . Esta projeção será exatamente o ponto B .

Então, seja P = 2 3 , 1 3 , 0 um ponto da reta r , o ponto B será dado por:

B = P + p r o j r → P A →

Em que o vetor P A → é:

P A → = A - P = 0,1 , 0 - 2 3 , 1 3 , 0 = - 2 3 , 2 3 , 0

Desta forma, temos:

B = P + P A → ⋅ r → | | r → | | 2 ⋅ r →

B = 2 3 , 1 3 , 0 + - 2 3 , 2 3 , 0 ⋅ 0 , - 1,1 0 + - 1 2 + 1 2 2 ⋅ 0 , - 1,1

B = 2 3 , 1 3 , 0 + - 2 3 2 ⋅ 0 , - 1,1

B = 2 3 , 1 3 , 0 - 1 3 ⋅ 0 , - 1,1

B = 2 3 , 2 3 , - 1 3

E assim descobrimos as coordenadas do ponto B .

Passo 3

Como temos um triângulo retângulo em B , sabemos que que o ângulo formado entre as arestas C A e C B é 30°, podemos afirmar então que o ângulo entre as arestas A B e A C é 60°.

Essa outra forma de analisar a questão irá facilitar e muito na hora de calcularmos ela! Sendo assim, iremos agora analisar a medida angular entre os vetores A B → e A C →

Em relação do vetor A C → , nós temos o ponto A e nós sabemos que existe algum valor de λ da equação da reta r que irá satisfazer as coordenadas de C . Então, podemos escrever o vetor C A → da seguinte forma:

A C → = C - A = 2 3 , 1 3 - λ , λ - 0,1 , 0 = 2 3 , - 2 3 - λ , λ

Já o vetor A B → será:

A B → = B - A = 2 3 , 2 3 , - 1 3 - 0,1 , 0 = 2 3 , - 1 3 , - 1 3

Calculando a medida angular entre A C → e A B → , temos:

cos ⁡ 6 0 ° = A C → ⋅ A B → | | A C → | | ⋅ | | A B → | |

1 2 = 2 3 , - 2 3 - λ , λ ⋅ 2 3 , - 1 3 , - 1 3 2 3 2 + - 2 3 - λ 2 + λ 2 ⋅ 2 3 2 + - 1 3 2 + - 1 3 2

1 2 = 4 9 + 2 9 + λ 3 - λ 3 4 9 + 4 9 + 4 λ 3 + λ 2 + λ 2 ⋅ 4 9 + 1 9 + 1 9

1 2 = 2 3 8 9 + 4 λ 3 + 2 λ 2 + ⋅ 2 3

4 3 = 2 3 ⋅ 8 9 + 4 λ 3 + 2 λ 2

Elevando ao quadrado ambos os membros, temos:

16 9 = 2 3 ⋅ 8 9 + 4 λ 3 + 2 λ 2

8 9 + 4 λ 3 + 2 λ 2 = 8 3

18 λ 2 + 12 λ + 8 = 24

18 λ 2 + 12 λ - 16 = 0

9 λ 2 + 6 λ - 8 = 0

Resolvendo a equação acima, vamos obter λ 1 = 2 / 3 e λ 2 = - 4 / 3 . Cada valor de λ irá nos dizer um possível ponto C que satisfaça a relação de medida angular.

Então, para λ 1 , obtemos C 1 = 2 3 , - 1 3 , 2 3 . Já para λ 2 = - 4 / 3 , obtemos C 2 = 2 3 , 5 3 , - 4 3 .

Passo 4

Para obtermos a altura relativa à hipotenusa, vamos começar calculando a área do triângulo. Tendo como base o segmento B C e altura o segmento B A .

Antes de calcular a área, é importante destacar que tanto faz o ponto C que estamos trabalhando, o resultado será exatamente o mesmo. Sendo assim, utilizando o ponto C 1 = 2 3 , - 1 3 , 2 3 , a área será:

Á r e a = d B , C ⋅ d B , A 2

Á r e a = 2 3 - 2 3 2 + - 1 3 - 2 3 2 + 2 3 + 1 3 2 ⋅ 0 - 2 3 2 + 1 - 2 3 2 + 0 + 1 3 2 2

Á r e a = 0 + 1 + 1 ⋅ 4 9 + 1 9 + 1 9 2

Á r e a = 2 ⋅ 6 9 2 = 12 6 = 3 3

Só que nós poderíamos ter calculado a área utilizando como base a hipotenusa A C . Se repetirmos este procedimento, temos:

Á r e a = d A , C ⋅ A l t u r a 2 = 3 3

A l t u r a = 2 3 3 ⋅ d A , C

A l t u r a = 2 3 3 ⋅ 0 - 2 3 2 + 1 + 1 3 2 + 0 - 2 3 2

A l t u r a = 2 3 3 ⋅ 4 9 + 16 9 + 4 9

A l t u r a = 2 3 3 ⋅ 24 3 = 2 3 2 6 = 18 6 = 2 2

Portanto, a altura que buscamos mede 2 / 2 .

Resposta

B = 2 3 , 2 3 , - 1 3

C 1 = 2 3 , - 1 3 , 2 3                       o u                       C 2 = 2 3 , 5 3 , - 4 3

A l t u r a = 2 2

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Determinar o ângulo entre as seguintes retas:a) r 1 : x = - 2 - t y = t z = 3 - 2 t e r 2 : x 2 = y + 6 1 = z - 1 1 b) r 1 : y = - 2 x + 3 z = x - 2 e r 2 : y = z + 1 - 1 ; x = 4 c) r 1 : x = 1 + 2 t
Determinar o valor de n para que seja de 30 ° o ângulo entre as retasa) r 1 : x - 2 4 = y 5 = z 3 e r 2 : y = n x + 5 z = 2 x - 2 b) r 1 : y = n x - 1 z = 2 x e r 2 : eixoO y
Determinar o ângulo entre as seguintes retas:a) r 1 : x = - 2 - t y = t z = 3 - 2 t e r 2 : x 2 = y + 6 1 = z - 1 1 b) r 1 : y = - 2 x + 3 z = x - 2 e r 2 : y = z + 1 - 1 ; x = 4 c) r 1 : x = 1 + 2 t
Determinar o valor de n para que seja de 30 ° o ângulo entre as retasa) r 1 : x - 2 4 = y 5 = z 3 e r 2 : y = n x + 5 z = 2 x - 2 b) r 1 : y = n x - 1 z = 2 x e r 2 : e i x oO y
21. Determinar o ângulo entre as seguintes retas:a) r 1 : x = - 2 - t y = t z = 3 - 2 t e r 2 : x 2 = y + 6 1 = z - 1 1