Responde Aí

Enunciado

Use o algoritmo de inversão para encontrar a inversa da matriz dada, se essa inversa existir.

- 1 0 1 0 2 3 - 2 6 0 - 1 2 0 0 0 1 5

Passo 1

Vamos primeiro lembrar como funciona esse algoritmo de inversão:

Para encontrar a inversa de uma matriz invertível A, encontre uma sequência de operações elementares com linhas que reduza A à identidade e depois efetue essa mesma sequência de operações elementares em I n para obter A - 1 .

Para conseguirmos aplicar esse algoritmo na matriz dada, juntamos a matriz identidade â direita de A, e produzimos uma matriz da forma

A     I ]

- 1 0 1 0 2 3 - 2 6 0 - 1 2 0 0 0 1 5 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1  

Em seguida efetuamos operações com linhas dessa matriz até que o lado esquerdo esteja reduzido a I   e o lado direito torne-se A - 1 , de modo que

[ I | A - 1 ]

Passo 2

Agora partimos para as contas. Vamos multiplicar a primeira linha por 2 e somar a primeira com a segunda linha, o que torna

- 1 0 1 0 0 3 0 6 0 - 1 2 0 0 0 1 5 2 0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1  

Agora multiplicamos a segunda linha por 1 3 e somamos com a terceira linha

- 1 0 1 0 0 3 0 6 0 0 2 2 0 0 1 5 2 0 0 0 2 1 0 0 2 3 1 3 1 0 0 0 0 1  

Vamos multiplicar a terceira linha por - 1 2 , e somá-la com a quarta linha, e temos

- 1 0 1 0 0 3 0 6 0 0 2 2 0 0 0 4 2 0 0 0 2 1 0 0 2 3 1 3 1 0 - 1 3 - 1 6 - 1 2 1  

Passo 3

Agora multiplicamos a primeira linha por -1 , segunda por 1 3 , a terceira por 1 2 e a quarta linha por 1 4 para obtermos

1 0 - 1 0 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 1 2 0 0 0 2 3 1 3 0 0 1 3 1 6 1 2 0 - 1 12 - 1 24 - 1 8 1 4  

Multiplicamos a quarta linha por -1 e somamos com a terceira linha

1 0 - 1 0 0 1 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 2 3 1 3 0 0 5 12 5 24 5 8 - 1 4 - 1 12 - 1 24 - 1 8 1 4

Multiplicamos a terceira linha por 1 e somamos com a primeira linha. Também multiplicamos a quarta linha por -2 e somamos com a segunda linha, e temos:

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 - 7 12 5 24 5 8 - 1 4 5 6 5 12 1 4 - 1 2 5 12 5 24 5 8 - 1 4 - 1 12 - 1 24 - 1 8 1 4

Como o lado esquerdo tornou-se a matriz identidade, a matriz inversa é então:

- 7 12 5 24 5 8 - 1 4 5 6 5 12 1 4 - 1 2 5 12 5 24 5 8 - 1 4 - 1 12 - 1 24 - 1 8 1 4

Resposta

- 7 12 5 24 5 8 - 1 4 5 6 5 12 1 4 - 1 2 5 12 5 24 5 8 - 1 4 - 1 12 - 1 24 - 1 8 1 4

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