Enunciado

Use a multiplicação matricial para encontrar a imagem do vetor ( 3 ,   - 4 ) se for girado por um ângulo de θ = 30 ° .

Passo 1

Primeiro devemos ter em mente a matriz de rotação R θ apresentada no livro, que é dada por:

cos ⁡ θ - sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Sendo θ o ângulo de rotação do vetor:

p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   n e g a t i v o           p a r a   r o t a ç õ e s   n o   s e n t i d o   a n t i - h o r á r i o   o   v a l o r   d e   θ   é   p o s i t i v o

Passo 2

Agora escrevemos as equações em forma de matriz para uma rotação de 30 ° , dessa forma temos:

R 30 ° x → = cos ⁡ 30   ° - sen ⁡ 30   ° sen ⁡ 30   ° cos ⁡ 30   ° * 3 - 4

Passo 3

Realizando a multiplicação:

R 30 ° x → = 3 * cos ⁡ 30 ° + - 4 * ( - sen ⁡ 30 ° ) 3 * sen ⁡ 30 ° + - 4 * cos ⁡ 30 °

Logo a imagem de 3 , - 4 defletida em um ângulo de 30 ° é:

  4,5981 ,   - 1,9641 .

Resposta

  4,5981 ,   - 1,9641 .

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Pode ser provado que se A for uma matriz 2 × 2 de vetores colunas ortonormais e com det ⁡ A = 1 , então a multiplicação por A é uma rotação por algum ângulo θ . Verifique que: A =- 1 2 - 1 2 1 2 - 1 2
Encontre a matriz canônica do operador que efetua a rotação de um vetor em R 3 por um ângulo de - 60 ° em torno do eixo x .
Encontre a matriz canônica do operador que efetua a rotação de um vetor em R 3 por um ângulo de - 60 ° em torno do eixo y .
Em cada caso, descreva em palavras o efeito geométrico de multiplicar um vetor x → pela matriz A . A =2 0 0 3 A =3 2 - 1 2 1 2 3 2
Use a Fórmula ( 15 ) para encontrar a matriz canônica de uma rotação de 180 ° em torno do eixo determinado pelo vetor v( 2 ,2 ,1 ) . [Observação: a Fórmula ( 15 ) exige que o vetor que define o eixo d