Enunciado

Use a sugestão do Exercício 20 para provar as partes ( b ) e ( c ) do Teorema 4.11.3 .

Passo 1

Vamos lá, para resolver esse exercício você precisa dar uma olhada na questão anterior, sabendo disso vamos colocar a mão na massa.

Para provar a parte b do teorema vamos usar a reta dada: A x +   B y   =   0 , com A   e B não nulos.

Usando a resposta do exercício anterior chegamos à.

A ⋅ d x ' - b y ' a d - c b + B ⋅ - c x ' + a y ' a d - c b + C = 0  

Com determinante, a d - c b ≠ 0 .

Assim nossa imagem será A ' x ' +   B ' y '   =   0

Como ambos não podem ser nulos simultaneamente, temos que a imagem da linha passando pela origem será uma linha passando pela origem.

Assim comprovamos a parte ( b ) do teorema apresentado!  

Passo 2

Agora vamos provar a parte ( c ) , se temos duas equações de reta sendo   A x +   B y + C   =   0 e A x +   B y + D   =   0 , com C ≠ D e dizemos que elas são paralelas, nós temos:

A imagem de A x +   B y + C   =   0 é:

A ' x ' +   B ' y ' +   C   =   0  

E a imagem de A x +   B y + D   =   0 é:

A ' x ' +   B ' y ' +   D   =   0

Sendo ambos:

A ' = A d - B c a d - c b   e   B ' = a B - A b a d - c b

Como ambas as componentes da imagem possuem a mesma estrutura e a única diferença são as constantes C e D dizemos que as imagens também são paralelas!

Assim comprovamos a parte ( c ) do teorema apresentado!  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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