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Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P - 1 A P .

A = 9 1 4 6

Passo 1

O problema fornece uma matriz A e pede para verificar se ela é diagonalizável ou não. Se ela for, temos que encontrar a matriz P de modo que P - 1 A P seja diagonal.

Basicamente, o que temos que fazer é encontrar os autovalores de A e seus autovetores associados. Se os autovetores formarem uma base, então a matriz será diagonalizável! Neste caso, as colunas da matriz P são as componentes dos autovetores.

já primeira coisa que você tem que tentar fazer é achar os autovalores resolvendo a equação característica:

det ⁡ A - λ I = 0

Assim,

9 - λ 1 4 6 - λ = 0

Portanto,

9 - λ 6 - λ - 4 = 0

Fazendo a distribuitiva:

54 - 9 λ - 6 λ + λ 2 - 4 = 0 ⇒ λ 2 - 15 λ + 50 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau:

λ = 15 ± 225 - 200 2 = 15 ± 5 2

Desta forma, os autovalores são

λ 1 = 5                 e                 λ 2 = 10

Como a dimensão da matriz é dois e ela tem dois autovalores distintos, essa matriz é diagonalizável!!!

Passo 2

Bom, agora que já sabemos que a matriz pode ser diagonalizada, vamos achar os autovetores para construir a matriz P . Para isso, temos que resolver a equação:

A - λ I a b = 0 0

Com λ 1 = 5 , temos

4 1 4 1 a b = 0 0

Note que as equações desse sistema são equivalentes e obtemos

4 a + b = 0 ⇒ b = - 4 a

Portanto,

v 1 = a ,   b = a ,   - 4 a = a   ( 1 ,   - 4 )

Por simplicidade, vamos escolher a = 1 . Assim, o primeiro autovetor é

v 1 = ( 1 ,   - 4 )

Essa será a primeira coluna da matriz P !

Fazendo a mesma coisa com λ 2 = 10 :

- 1 1 4 - 4 a b = 0 0

Novamente, as duas equações são equivalentes e tiramos

a - b = 0 ⇒ b = a

Assim,

v 2 = a ,   b = a , a = a   1 ,   1

Vamos escolher a = 1 , de modo que

v 2 = ( 1 ,   1 )

Passo 3

Chegamos que os autovalores são λ 1 = 5 e λ 2 = 10 , com os autovetores v 1 = ( 1 ,   - 4 ) e v 2 = ( 1 ,   1 ) . As colunas da matriz P serão os autovetores:

P = 1 1 - 4 1

Desta forma, fazendo o produto P - 1 A P , obtemos uma matriz diagonal cujas entradas são os autovalores:

P - 1 A P = 5 0 0 10

É importante ressaltar que essa resposta não é única: poderíamos inverter a ordem ou escolher valores de a diferentes para os autovetores.

Resposta

P = 1 1 - 4 1

P - 1 A P = 5 0 0 10

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