Enunciado

Verifique se r e pi são perpendiculares:

(a) r : X = (0 , 0 , 4) + lambda (1 , - 1,1) pi : X = (1 , 2 , 3) + lambda (1 , 2 , 1) + mu ( 1 , 0 , 1 )

Passo 1

São dados do problema a reta e o plano definidos abaixo:

r : X = (0 , 0 , 4) + lambda (1 , - 1 , 1)

pi : X = (1 , 2 , 3) + lambda (1 , 2 , 1) + mu ( 1 , 0 , 1 )

E devemos verificar se eles são perpendinculares.

Bora lá!

Passo 2

Os vetores ( 1 , 2 , 1 ) e ( 1 , 0 , 1 ) são vetores diretores do plano que definimos. O produto vetorial entre tais vetores nos fornece um vetor normal ao plano:

vec N = |[[i,j,k],[1,2,1],[1,0,1]]| = i (2 - 0) + j (1 - 1) + k (0 - 2) = ( 2,0 , - 2 )

Passo 3

Ora, o vetor diretor ( 1 , - 1 , 1 ) de r não pode ser escrito em termos do vetor normal ( 2 , 0 , - 2 ) , logo tais vetores são LI e, portanto, a reta e o plano dado não são perpendiculares.

Resposta

Não são perpendiculares.

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Existe uma reta paralela a π : X = 0 ,0 ,0 + λ1 ,- 1 ,- 1 + μ( 3 ,0 ,- 1 ) , que contenha P = ( 2 ,2 ,1 ) e seja concorrete com r : X = 1 ,0 ,0 + γ( 2 ,1 ,0 ) ? Por quê?
Determine a projeção do ponto P = ( 1 ,4 ,0 ) sobre o plano π : x + y - 2 z + 1 = 0 , paralelamente à reta r : X = 0 ,0 ,0 + λ( 1 ,4 ,1 ) .
Sejam A = ( 2 ,1 ,1 ) , B = ( - 1 ,0 ,1 ) , C = ( 0 ,2 ,1 ) e π : X = 2 ,4 ,0 + α- 1 ,1 ,1 + β( - 2 ,- 1 ,0 ) . Prove que o lugar geométrico dos pontos X do plano π tais que o tetraedro tem volume 1 é
As retas r : X = 1 ,0 ,0 + α( 0 ,1 ,1 ) , s : X = 0 ,2 ,0 + β( 1 ,0 ,1 ) e t : X = 0 ,0 ,3 + γ( 1 ,1 ,0 ) são concorrentes com h , respectivamente, nos pontos A , B e C . Sabendo que B é o ponto médio
O plano π contém r : x - y = x + z - 1 = 0 e determina, com os planos coordenados, um tetraedro de volume 1 / 12 . Obtenha os vértices do tetraedro e uma equação geral de π .