Enunciado

Verifique se r e pi são perpendiculares:

(e) r : {[[x - y - z = 0],[x + y = 0]]) pi : 2 x - 2 y + 4 z = 1

Passo 1

São dados do problema a reta e o plano definidos abaixo:

r : {[[x - y - z = 0],[x + y = 0]])

pi : 2 x - 2 y + 4 z = 1

E devemos verificar se eles são perpendinculares.

Bora lá!

Passo 2

Dda uma reta formada pela intersecção de dois planos, o produto vetorial entre os vetores normais dos planos nos fornece um possível vetor direção da reta. Para o nosso problema, temos:

vec r = |[[i,j,k],[1,-,1,-,1],[1,1,0]]| = i (0 + 1) + j (- 1 + 0) + k (1 + 1) = (1 , - 1 , 2)

E diretamente da equação geral do plano obtemos um vetor normal ao plano:

vec N = ( 2 , - 2 , 4 )

Passo 3

Ora, o vetor diretor ( 1 , - 1 , 2 ) da reta r não pode ser escrito em termos do vetor normal ( 2 , - 2 , 4 ) ao plano, logo tais vetores são paralelos e, portanto, a reta e o plano dado são perpendiculares.

Resposta

São perpendiculares.

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