Análise da Multiplicação de Matrizes

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Teoria

Em “Operações com Matrizes” vimos uma maneira de fazer a multiplicação entre matrizes. E se eu te disser que existe outra forma de visualizar essa operação?

Isso mesmo, existe outro jeito de interpretar a multiplicação de matrizes! Alguns professores nem falam dela, mas tem muitas questões que saem muito mais facilmente dessa forma (algumas só dessa forma :p).

Se tivermos a matriz A abaixo:

A = ↑ ↑ v 1 v 2 ↓ ↓

Formada pelos vetores coluna v 1 e v 2 . E multiplicarmos por uma matriz B , por exemplo:

B = a b c d

Podemos fazer o seguinte:

A B = ↑ ↑ v 1 v 2 ↓ ↓ a b c d =   a ↑ v 1 ↓ + c ↑ v 2 ↓           b ↑ v 1 ↓ + d ↑ v 2 ↓  

Percebeu o que aconteceu? Combinamos as colunas de A usando os elementos das colunas de B como coeficientes! Olha esse exemplo:

A B = 2 1 0 3 1 2 4 3 1 5 - 1 0 =   4 2 3 + 1 1 1 + - 1 0 2           3 2 3 + 5 1 1 + 0 0 2   = 9 11 11 14

O mesmo resultado né (ufa haha). No fundo estamos fazendo o mesmo que fizemos lá no produto que aprendemos. Só que lá fizemos termo a termo e aqui estamos fazendo coluna por coluna.

A última forma que temos para ver esse produto é como uma combinação das linhas de B ! Como assim? Se liga, agora vamos ter

A = a b c d

B = ← u 1 → ← u 2 →

E o produto vai ficar:

A B = a b c d ← u 1 → ← u 2 → = a u 1 + b u 2 c u 1 + d u 2

Ou seja, estamos combinando as linhas de B usando os elementos das linhas de A como coeficientes. Aplicando no nosso exemplo:

A B = 2 1 0 3 1 2 4 3 1 5 - 1 0 =   2 4 3 + 1 1 5 + 0 - 1 0 3 4 3 + 1 1 5 + 2 - 1 0   = 9 11 11 14

De novo deu o mesmo resultado! Então a mensagem que eu queria passar para vocês é que o produto A B pode ser entendido como a combinação linear das colunas de A , ou como a combinação linear das linhas de B !

Resumindo as três formas de multiplicar que a gente viu (que na verdade são a mesma forma):

a b c d e f g h = e a + g b f a + h b e c + g d f c + h d

↑ ↑ v 1 v 2 ↓ ↓ e f g h =   e ↑ v 1 ↓ + g ↑ v 2 ↓           f ↑ v 1 ↓ + h ↑ v 2 ↓  

a b c d ← u 1 → ← u 2 → =   a ← u 1 → + b ← u 2 → c ← u 1 → + d ← u 2 →  

Obs.: Agora que sabemos multiplicar matrizes por matrizes, ou mais especificamente, por vetores (se a matriz tiver apenas 1 coluna), podemos perceber que a matriz m × n “pegará” vetores do R n e levará em vetores do R m . Por exemplo se temos uma matriz 3 × 2 :

a d b e c f x y ⏟ R 2 = x a + y d x b + y e x c + y f ⏟ R 3

Ela leva vetores do R 2 em vetores do R 3 !

Além disso, existem algumas propriedades que partem da multiplicação de matrizes que é bom dar uma olhada:

1) A B C = A B C (o produto de matrizes é associativo)

2) A B + C = A B + A C ≠ B + C A = B A + C A

3) A + B C = A C + B C ≠ C A + B = C A + C B

4) A I = A

OBS1: Em relação ao número 2 e 3, Podemos perceber que o LADO no qual multiplicamos a matriz importa e muito. No caso 2, não poderíamos botar em evidência a matriz A à direita pois o resultado ficaria diferente, já que, em geral, B A ≠ A B e C A ≠ A C ! Chamamos o caso 2 de botar em evidência A à esquerda.

OBS2: O mesmo vale para o caso 3, onde podemos perceber que botar em evidência C à direita é diferente de botar em evidência C à esquerda, já que, em geral, C A ≠ A C e C B ≠ B C .

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Qual(is) das seguintes propriedades do produto de matrizes são validas?

a   Associatividade?

b   Comutatividade?

c   Distributividade?

Passo 1

Letra ( a )

Associatividade é você poder associar do jeito que você quiser:

A B C = A B C

Logo a primeira é verdade.

Letra ( b )

A comutatividade é falsa, pois sabemos que a ordem do produto de matrizes importa.

A ⋅ B ≠ ⏟ diferente‼‼‼ B ⋅ A

Letra ( c )

Essa é um pouco confusa. Mesmo que a distributividade de matrizes seja meio zoado, dizemos que ela é distributiva sim:

A B + C = A B + A C

A + B C = A C + B C

Resposta

Associatividade

Distributividade

Exercício Resolvido #2

Se A , B ∈ M n × n então A + B A + B = _______

a   A 2 + 2 A B + B 2

b   A 2 + A B + B A + B 2

Passo 1

Lembrando que o produto das matrizes é distributivo, mas com aquela restrição de qual lado você está multiplicando. Se chamarmos A + B = C pra ficar mais fácil de visualizar, temos:

A + B A + B = C A + B = C A + C B

Substituindo de volta:

C A + C B = A + B A + A + B B = A 2 + B A + A B + B 2

Sendo assim, podemos ver que a resposta é a segunda opção.

Resposta

b   A 2 + B A + A B + B 2

Exercício Resolvido #3

Sejam A m × n e B n × m duas matrizes cujo produto é a matriz nula, isto é, A B = 0 m × m . Pode-se afirmar que:

( a ) O conjunto das linhas de A é linearmente dependente ou o conjunto das colunas de B é linearmente dependente.

( b ) O conjunto das colunas de A é linearmente dependente ou o conjunto das linhas de B é linearmente dependente.

( c ) B A = 0 n × n

( d ) A = 0 m × n ou B = 0 n × m

Passo 1

Vamos começar de traz pra frente essa questão?! Confia em mim!!! Podemos descartar logo de cara os itens (c) e (d). Vamos ver o porquê?!

O item (c) não é verdadeiro porque a multiplicação de matrizes não é comutativa, então se A B = 0 m × m não há garantias que B A = 0 n × n seja zero também.

O item (d) podemos interpretar da seguinte forma : Se A B = 0 m × m então A = 0 m × n ou B = 0 n × m . Note que, se A = 0 m × n e A B = 0 m × m , então a matriz B teria que ser a matriz identidade (que é o elemento neutro da multiplicação), porém a matriz B não é uma matriz quadrada, logo não é a matriz identidade. Podemos pensar a mesma coisa na situação inversa com B = 0 n × m e A B = 0 m × m .

Então, concluímos que ambas são falsas. Beleza?!

Passo 2

Vamos analisar os itens (a) e (b) como uma coisa só. Precisamos checar qual fator irá influenciar no produto A B , as linhas ou colunas de A

Vamos pensar no que fazemos quando multiplicamos matrizes!

Nós podemos combinar as colunas de A , ou combinar as linhas de B .

Essa primeira interpretação é a mais usual. Nós usamos os vetores coluna de B para combinar as colunas de A . vamos pegar uma matriz A onde suas colunas são L D   (todas as colunas forem uma combinação linear entre si). Por exemplo:

A = 1 0 1 2 0 1 2 3

B = 1 1 1 2 1 - 1 - 1 0

Temos que A B = 0 0 0 0 .

  Ou seja, já vimos que podemos zerar qualquer matriz A com colunas L D .

Passo 3

A outra interpretação é um pouco mais chatinha de ver já que não estamos acostumados. Vamos usar uma matriz B com linhas L D (linearmente dependentes) dessa vez, ou seja, todas as linhas de B são combinações lineares entre si. Por exemplo:

A = 1 1 - 1 1 - 1 0 1 0 - 2 0 1 - 2

B = 1 0 3 2 1 0 3 2 2 0 6 4

O produto ficaria:

1 1 - 1 1 - 1 0 2 0 - 1 0 2 - 1 1 0 3 2 1 0 3 2 2 0 6 4

Para fazer a multiplicação podemos pegar a primeira coluna 1,1 , 2 de B e combinar as colunas de A com esses coeficientes:

1 1 1 2 0 + 1 1 - 1 0 2 + 2 - 1 0 - 1 - 1 = 0 0 0 0

Essa é a primeira coluna de A B certo? Esse é o método que já conhecemos. Outra forma é pegarmos a primeira linha 1,1 , - 1 de A e combinar as linhas de B com esses coeficientes:

1 1,0 , 3,2 + 1 1,0 , 3,2 - 1 2,0 , 6,4 = 0,0 , 0,0

E essa é a primeira linha de A B !

Então, se A possui colunas L D ou se B possui linhas L D , podemos zerar o produto ;)

Resposta

Letra ( b )

Exercício Resolvido #4

Seja A uma matriz 3 × 2 . Deseja-se construir uma matriz M de forma que o produto C = M A seja uma matriz 3 × 2 satisfazendo:

i . A primeira linha de C é igual à metade da soma de todas as linhas de A ;

i i . A segunda linha de C é igual à metade da diferença entre as duas últimas linhas de A ;

i i i . A terceira linha de C é igual à primeira linha de A ;

Qual a soma de todos os elementos da matriz M ?

a 0

b 1 2

c 3 2

d 5 2

Passo 1

Antes de mais nada vamos nos organizar!!

Primeiro vamos ver o tamanho de M . Temos o seguinte:

C 3 × 2 = M m × n ∙ A 3 × 2

Assim, para que o produto seja possível, precisamos que o número de colunas de M seja igual ao número de linhas de   A , logo n = 3 .

Como C   terá o número de linhas de M e o número de colunas de A , para que C seja 3 × 2 precisamos que m = 3 .

Entãojá sabemos que M é uma matriz 3 × 3 . Beleza?!

Passo 2

Normalmente nós faríamos o produto C = M ∙ A combinando as colunas de M usando os elementos das colunas de A como coeficientes, mas esse método não serve pra nada aqui!!

Por sorte, também sabemos que o produto M ∙ A pode ser entendido como uma combinação das linhas de A usando os elementos das linhas de M como coeficientes! Esse é o tipo de questão que fica muuuuito mais fácil de resolver sabendo isso, como eu comentei na teoria haha. Vamos lá então:

i .   O enunciado nos diz que a primeira linha de C é igual à metade da soma de todas as linhas de A .

Então a primeira linha de M tem que somar metade de todas as linhas de A , logo todos os elementos dessa linha vão ser 1 2 :

M = 1 2 1 2 1 2 * * * * * *

Passo 3

i i . A segunda linha de C é igual à metade da diferença entre as duas últimas linhas de A .

Portanto, a segunda linha de M tem que fazer a diferença das metades das duas últimas linhas de A . Beleza?! O primeiro elemento dessa linha será nulo pois ele acompanha a primeira linha de A na combinação, assim:

M = 1 2 1 2 1 2 0 1 2 - 1 2 * * *

Passo 4

i i i . A terceira linha de C é igual à primeira linha de A .

Nesse caso teremos que zerar os 2 últimos elementos dessa linha, pois remetem a segunda e terceira linha de A . Então a terceira linha de M é:

M = 1 2 1 2 1 2 0 1 2 - 1 2 1 0 0

Passo 5

Queremos a soma de todos os elementos da matriz M , então é só somar todos os elementos de M hahahahahaha:

1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 - 1 2 + 1 = 5 2

Resposta

Letra ( d )

Exercício Resolvido #5

Uma montadora produz três modelos de veículos: A , B e C . Neles podem ser instalados dois tipos de airbags: D e E . A matriz [ a i r b a g   m o d e l o ] mostra a quantidade de unidades de airbags instaladas

Numa determinada semana, foram produzidas as seguintes quantidades de veículos, dadas pela matriz [ m o d e l o - q u a n t i d a d e ] :

O produto da matriz [ a i r b a g   m o d e l o ] pela matriz [ m o d e l o - q u a n t i d a d e ] é 1600 3600 .

Quantos veículos do modelo C foram montados na semana?

a) 300

b) 200

c) 150

d) 0

e) 100

Passo 1

Ok, vimos que o produto entre a matriz [ a i r b a g   m o d e l o ] pela matriz [ m o d e l o - q u a n t i d a d e ] é igual a 1600 3600 , ou seja:

2 2 0 4 4 2 . 300 500 x = 1600 3600

E nós queremos encontrar o valor de x , que é a quantidade de veículos no modelo C belezinha? Pra isso vamos fazer a multiplicação das matrizes.

Passo 2

Multiplicando as matrizes:

300 . 2 4 + 5 00 . 2 4 + x . 0 2 = 1600 3600

600 1200 + 1000 2000 + 0 2 x = 1600 3600

Agora é só somar essas matrizes

600 + 1000 1200 + 2000 + 2 x = 1600 3600

1600 3200 + 2 x = 1600 3600

Igualando os termos 2 x 1 :

3200 + 2 x = 3600

2 x = 400

x = 200

Ou seja, foram produzidas 200 veículos do modelo C . Logo, a alternativa correta é a letra B!!

Resposta

b) 200

Exercício Resolvido #6

Sendo

A = 1 3 2 - 5 , B = 5 2

E A X = 2 B . Então a matriz X é igual a:

a) 16 62

b) 16 11 62 11

c) 62 11 16 11

d) 62 16

e) 62 1 0 16 1 0

Passo 1

Vamos lá, sabemos que A X = 2 B , ou seja:

1 3 2 - 5 X = 2 5 2

1 3 2 - 5 X = 10 4

Para que seja possível realizar o produto A X , como A tem 2 colunas, X deve ter 2 linhas certo?

Para que a multiplicação de uma matriz 2 x 2 com X resulte em uma matriz 2 x 1 , a matriz X deve ter apenas 1 coluna (lembrando: a matriz resultado de um produto entre matrizes, vai ter a quantidade de linhas da primeira matriz e a quantidade de colunas da segunda).

Então X vai ser uma matriz 2 x 1 (vamos fingir que não vimos isso nas alternativas haha).

1 3 2 - 5 a b = 10 4

Passo 2

Agora, vamos realizar o produto entre A e X daquele jeitinho que vimos na teoria para encontrarmos os valores de a e b , que formam nossa matriz X :

a . 1 2 + b 3 - 5 = 1 0 4

a 2 a + 3 b - 5 b = 1 0 4

Somando as matrizes:

a + 3 b 2 a - 5 b = 1 0 4

Ok, então temos que

a + 3 b = 10   ( i )

2 a - 5 b = 4   ( i i )

Passo 3

Vamos multiplicar a equação ( i ) por - 2 , isso vai nos dar

- 2 a - 6 b = - 20   ( i i i )

Agora vamos somar as equações ( i i ) e ( i i i ) :

2 a - 5 b - 2 a - 6 b = 4 - 20

- 11 b = - 16

b = 16 11

Substituindo o valor de b na equação ( i ) (poderia ser na ( i i ) também):

a + 3 16 11 = 10

a = 110 11 - 48 11

a = 62 11

Ebaaa! Encontramos o valor de a e b :D

Enfim, a nossa matriz X então é:

X = 62 11 16 11

Logo, a alternativa correta é a letra C!!

Resposta

c) 62 11 16 11

Exercício Resolvido #7

Sendo

A = 1 2 3 - 3 - 2 - 1 - 1 3 - 2 , B = 0 0 1 2 0 - 1 6 5 2

E C = A . B , o elemento C 33 da matriz C é:

a) 9

b) 0

c) -4

d) -8

e) -12

Passo 1

Vimos que a matriz C é o produto A . B . Para descobrirmos o elemento C 33 , precisamos realizar o produto dessas matrizes. Que tal resolvermos do jeito que vimos na teoria? Fica assim:

C = 0 . 1 - 3 - 1 + 2 . 2 - 2 3 + 6 . 3 - 1 - 2             0 . 1 - 3 - 1 + 0 . 2 - 2 3 + 5 . 3 - 1 - 2           1 . 1 - 3 - 1 - 1 . 2 - 2 3 + 2 . 3 - 1 - 2  

Passo 2

Multiplicando as matrizes coluna pelos escalares, vamos ter

C = 0 0 0 + 4 - 4 6 + 18 - 6 - 12             0 0 0 + 0 0 0 + 15 - 5 - 10           1 - 3 - 1 + - 2 2 - 3 + 6 - 2 - 4  

Agora é só somar :)

C = 22 - 10 18             15 - 5 - 10           5 - 3 - 8  

Então nossa matriz C é

C = 22 15 5 - 10 - 5 - 3 18 - 10 - 8

Passo 3

Queremos o elemento C 33 , ou seja, o elemento de C que está na terceira linha e terceira coluna. No caso, é o - 8 certo? Logo, a alternativa correta é a letra d :D

Resposta

d) -8

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