Análise da Multiplicação de Matrizes

Teoria Completa

Em “Operações com Matrizes” vimos uma maneira de fazer a multiplicação entre matrizes. E se eu te disser que existe outra forma de visualizar essa operação?

Isso mesmo, existe outro jeito de interpretar a multiplicação de matrizes! Alguns professores nem falam dela, mas tem muitas questões que saem muito mais facilmente dessa forma (algumas só dessa forma :p).

Se tivermos a matriz A abaixo:

A = ↑ ↑ v 1 v 2 ↓ ↓

Formada pelos vetores coluna v 1 e v 2 . E multiplicarmos por uma matriz B , por exemplo:

B = a b c d

Podemos fazer o seguinte:

A B = ↑ ↑ v 1 v 2 ↓ ↓ a b c d =   a ↑ v 1 ↓ + c ↑ v 2 ↓           b ↑ v 1 ↓ + d ↑ v 2 ↓  

Percebeu o que aconteceu? Combinamos as colunas de A usando os elementos das colunas de B como coeficientes! Olha esse exemplo:

A B = 2 1 0 3 1 2 4 3 1 5 - 1 0 =   4 2 3 + 1 1 1 + - 1 0 2           3 2 3 + 5 1 1 + 0 0 2   = 9 11 11 14

O mesmo resultado né (ufa haha). No fundo estamos fazendo o mesmo que fizemos lá no produto que aprendemos. Só que lá fizemos termo a termo e aqui estamos fazendo coluna por coluna.

A última forma que temos para ver esse produto é como uma combinação das linhas de B ! Como assim? Se liga, agora vamos ter

A = a b c d

B = ← u 1 → ← u 2 →

E o produto vai ficar:

A B = a b c d ← u 1 → ← u 2 → = a u 1 + b u 2 c u 1 + d u 2

Ou seja, estamos combinando as linhas de B usando os elementos das linhas de A como coeficientes. Aplicando no nosso exemplo:

A B = 2 1 0 3 1 2 4 3 1 5 - 1 0 =   2 4 3 + 1 1 5 + 0 - 1 0 3 4 3 + 1 1 5 + 2 - 1 0   = 9 11 11 14

De novo deu o mesmo resultado! Então a mensagem que eu queria passar para vocês é que o produto A B pode ser entendido como a combinação linear das colunas de A , ou como a combinação linear das linhas de B !

Resumindo as três formas de multiplicar que a gente viu (que na verdade são a mesma forma):

a b c d e f g h = e a + g b f a + h b e c + g d f c + h d

↑ ↑ v 1 v 2 ↓ ↓ e f g h =   e ↑ v 1 ↓ + g ↑ v 2 ↓           f ↑ v 1 ↓ + h ↑ v 2 ↓  

a b c d ← u 1 → ← u 2 → =   a ← u 1 → + b ← u 2 → c ← u 1 → + d ← u 2 →  

Obs.: Agora que sabemos multiplicar matrizes por matrizes, ou mais especificamente, por vetores (se a matriz tiver apenas 1 coluna), podemos perceber que a matriz m × n “pegará” vetores do R n e levará em vetores do R m . Por exemplo se temos uma matriz 3 × 2 :

a d b e c f x y ⏟ R 2 = x a + y d x b + y e x c + y f ⏟ R 3

Ela leva vetores do R 2 em vetores do R 3 !

Além disso, existem algumas propriedades que partem da multiplicação de matrizes que é bom dar uma olhada:

1) A B C = A B C (o produto de matrizes é associativo)

2) A B + C = A B + A C ≠ B + C A = B A + C A

3) A + B C = A C + B C ≠ C A + B = C A + C B

4) A I = A

OBS1: Em relação ao número 2 e 3, Podemos perceber que o LADO no qual multiplicamos a matriz importa e muito. No caso 2, não poderíamos botar em evidência a matriz A à direita pois o resultado ficaria diferente, já que, em geral, B A ≠ A B e C A ≠ A C ! Chamamos o caso 2 de botar em evidência A à esquerda.

OBS2: O mesmo vale para o caso 3, onde podemos perceber que botar em evidência C à direita é diferente de botar em evidência C à esquerda, já que, em geral, C A ≠ A C e C B ≠ B C .

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Exercício Resolvido #1

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 127 – Fix. 4.16

Qual(is) das seguintes propriedades do produto de matrizes são validas?

a   Associatividade?

b   Comutatividade?

c   Distributividade?

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Passo 1

Letra ( a )

Associatividade é você poder associar do jeito que você quiser:

A B C = A B C

Logo a primeira é verdade.

Letra ( b )

A comutatividade é falsa, pois sabemos que a ordem do produto de matrizes importa.

A ⋅ B ≠ ⏟ diferente‼‼‼ B ⋅ A

Letra ( c )

Essa é um pouco confusa. Mesmo que a distributividade de matrizes seja meio zoado, dizemos que ela é distributiva sim:

A B + C = A B + A C

A + B C = A C + B C

Resposta

Associatividade

Distributividade

Exercício Resolvido #2

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 127 – Fix. 4.17

Se A , B ∈ M n × n então A + B A + B = _______

a   A 2 + 2 A B + B 2

b   A 2 + A B + B A + B 2

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Passo 1

Lembrando que o produto das matrizes é distributivo, mas com aquela restrição de qual lado você está multiplicando. Se chamarmos A + B = C pra ficar mais fácil de visualizar, temos:

A + B A + B = C A + B = C A + C B

Substituindo de volta:

C A + C B = A + B A + A + B B = A 2 + B A + A B + B 2

Sendo assim, podemos ver que a resposta é a segunda opção.

Resposta

b   A 2 + B A + A B + B 2

Exercício Resolvido #3

Anton e Rorres, Álgebra Linear com Aplicações, 8ª Ed., Porto Alegre, Bookman, 2005, pp. 47 – ex. 9

Sejam

y = y 1 y 2 … y m e A = a 11 a 12 a 21 a 22 … a 1 n … a 2 n ⋮ ⋮ a m 1 a m 2   ⋮ … a m n

Mostre que o produto y A pode ser expresso como uma combinação linear das matrizes-linha de A   com coeficientes escalares vindo de y .

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Passo 1

Bom, pra começar, vamos organizar isso aí, queremos y A , que vou chamar de B :

  a 11 a 12 a 21 a 22 … a 1 n … a 2 n ⋮ ⋮ a m 1 a m 2   ⋮ … a m n y 1 y 2 … y m b 1 b 2 … b n

Agora temos que achar esses elementos de B para mostrar que esse vetor é uma combinação linear das linhas de A com os elementos do vetor y como coeficientes:

b 1 = y 1 a 11 + y 2 a 21 + … + y m a m 1

b 2 = y 1 a 12 + y 2 a 22 + … + y m a m 2

b n = y 1 a 1 n + y 2 a 2 n + … + y m a m n

Vamos tentar escrever isso aí como uma combinação linear, ou seja, uma expressão de vetores, de um lado vamos ter:

b 1 b 2 … b n

Para escrever o outro lado, precisamos analisar essas expressões dos b ' s , vemos que o primeiro termo de todas elas é composta por y 1 multiplicado por um termo da primeira linha da matriz A , então o primeiro termo da nossa C L vai ser:

y 1 a 1 1 a 1 2 … a 1 n

E o mesmo vai acontecer com os outros termos, que vão ser:

y 2 a 2 1 a 2 2 … a 2 n

y m a m 1 a m 2 … a m n

Juntando tudo:

b 1 b 2 … b n = y 1 a 11 a 12 … a 1 n + y 2 a 21 a 22 … a 2 n + y m a m 1 a m 2 … a m n

Resposta

Exercício Resolvido #4

UFRJ, Álgebra Linear, P1 – 2015.1, Questão 06

Sejam A m × n e B n × m duas matrizes cujo produto é a matriz nula, isto é, A B = 0 m × m . Pode-se afirmar que:

( a ) O conjunto das linhas de A é linearmente dependente ou o conjunto das colunas de B é linearmente dependente.

( b ) O conjunto das colunas de A é linearmente dependente ou o conjunto das linhas de B é linearmente dependente.

( c ) B A = 0 n × n

( d ) A = 0 m × n ou B = 0 n × m

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Passo 1

Vamos pensar no que fazemos quando multiplicamos matrizes! Existem duas interpretações possíveis:

Nós podemos combinar as colunas de A , ou combinar as linhas de B .

Essa primeira interpretação é a mais usual. Nós usamos os vetores coluna de B para combinar as colunas de A . Então se as colunas de A forem L D nós podemos zerar ela! Por exemplo:

A = 1 0 1 2 0 1 2 3

B = 1 1 1 2 1 - 1 - 1 0

Temos que A B = 0 0 0 0 . Ou seja, já vimos que podemos zerar qualquer matriz A com colunas L D .

Passo 2

A outra interpretação é um pouco mais chatinha de ver já que não estamos acostumados. Vamos usar uma matriz B com linhas L D (linearmente dependentes) dessa vez:

A = 1 1 - 1 1 - 1 0 1 0 - 2 0 1 - 2

B = 1 0 3 2 1 0 3 2 2 0 6 4

O produto ficaria:

1 1 - 1 1 - 1 0 2 0 - 1 0 2 - 1 1 0 3 2 1 0 3 2 2 0 6 4

Para fazer a multiplicação podemos pegar a primeira coluna 1,1 , 2 de B e combinar as colunas de A com esses coeficientes:

1 1 1 2 0 + 1 1 - 1 0 2 + 2 - 1 0 - 1 - 1 = 0 0 0 0

Essa é a primeira coluna de A B certo? Esse é o método que já conhecemos. Outra forma é pegarmos a primeira linha 1,1 , - 1 de A e combinar as linhas de B com esses coeficientes:

1 1,0 , 3,2 + 1 1,0 , 3,2 - 1 2,0 , 6,4 = 0,0 , 0,0

E essa é a primeira linha de